Órdenes y residuos cuadráticos · Definición

Símbolo de Legendre

teoría de números elementalórdenes y residuos cuadráticos

Antes de empezar necesitas conocer

El símbolo de Legendre resume en un solo valor si una clase de congruencia es cuadrado módulo un primo. Es la herramienta central para decidir la solubilidad de \(x^2\equiv a \pmod p\).

Definición

El símbolo de Legendre \(\left(\frac{a}{p}\right)\) para un primo impar \(p\) y un entero \(a\) con \(p \nmid a\) vale \(1\) si \(a\) es residuo cuadrático módulo \(p\), \(-1\) si no lo es.

\[\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}\]

El criterio de Euler afirma que \(\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2} \pmod p\), y de ahí se deducen la multiplicatividad \(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\) y la dependencia solo de la clase de \(a\) módulo \(p\). Como consecuencia, exactamente la mitad de las clases no nulas módulo \(p\) son residuos cuadráticos.

Para \(p=7\) los cuadrados no nulos son \(1,2,4\), así que \(\left(\frac{3}{7}\right)=-1\) porque \(3\) no aparece en esa lista, mientras que \(\left(\frac{9}{7}\right)=\left(\frac{2}{7}\right)=1\) al reducir \(9\equiv 2\pmod 7\). Calcular el símbolo directamente sobre \(a\) sin reducir módulo \(p\) primero es una forma habitual de equivocarse.

Un error típico es olvidar que el símbolo solo se define cuando \(p\nmid a\), o asumir que \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\) implica que \(a\) es negativo. El valor depende únicamente de la clase de \(a\) módulo \(p\), y el signo de \(a\) como entero no tiene relevancia.

Para pensar

¿Depende el símbolo de Legendre del signo de \(a\) como entero o solo de su clase módulo \(p\)?

Solo de su clase módulo \(p\); el signo de \(a\) como entero no influye.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el valor de \(\left(\frac{4}{11}\right)\)?
  2. ¿Cuál es el valor de \(\left(\frac{-1}{5}\right)\)?
  3. Si \(p\) es un primo impar y \(p\mid a\), ¿cuánto vale \(\left(\frac{a}{p}\right)\)?
  4. Según el criterio de Euler, ¿a qué es congruente \(a^{(p-1)/2}\) módulo \(p\) cuando \(p\nmid a\)?
  5. ¿Cuál es el valor de \(\left(\frac{2}{3}\right)\)?
  6. Calcula \(\left(\frac{10}{13}\right)\) sabiendo que los cuadrados no nulos módulo 13 son \(1,4,9,3,12,10\).
  7. Calcula \(\left(\frac{3}{7}\right)\cdot\left(\frac{5}{7}\right)\).
  8. Calcula \(\left(\frac{2}{p}\right)\) para \(p=17\) usando que \(6^2\equiv 2\pmod{17}\).
  9. Usando el criterio de Euler, calcula \(2^{3}\bmod 7\) y di qué símbolo representa \(2\) módulo 7.
  10. Demuestra con un contraejemplo que \(\left(\frac{a+b}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)+\left(\frac{b}{p}\right)\) es falsa en general, tomando \(p=7\), \(a=1\), \(b=2\).

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 9
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 3