Funciones aritméticas · Definición

Funciones divisor

teoría de números elementalfunciones aritméticas

Antes de empezar necesitas conocer

Las funciones divisor miden de forma aritmética cuántos divisores tiene un entero y cómo se distribuyen. Son el ejemplo más básico de función aritmética multiplicativa.

Definición

Las funciones divisor \( \sigma_k(n) \) y \( \tau(n) \) suman, respectivamente, las potencias \( k \)-ésimas y el número de divisores positivos de un entero \( n \geq 1 \).

\[\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n} d^{k},\quad \tau(n)=\sigma_0(n)\]

Si \( \gcd(m,n)=1 \), entonces \( \tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \) y \( \sigma_k(mn)=\sigma_k(m)\sigma_k(n) \), es decir, ambas funciones son multiplicativas. Por ello basta conocer sus valores en potencias de primos: \( \tau(p^a)=a+1 \) y \( \sigma_k(p^a)=1+p^k+\cdots+p^{ak} \).

Para \( n=360=2^3\cdot 3^2\cdot 5 \) se obtiene \( \tau(360)=4\cdot 3\cdot 2=24 \). Igualmente, \( \sigma_1(360)=15\cdot 13\cdot 6=1170 \), usando la fórmula para cada potencia de primo.

Un error típico es suponer que \( \sigma_k(p^a)=(p^{k(a+1)}-1)/(p^k-1) \) no requiere \( p^k\neq 1 \), o bien aplicar la multiplicatividad a sumas como \( \tau(m+n) \), que no tiene ninguna relación con \( \tau(m)\tau(n) \).

Para pensar

¿Por qué \( \tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \) no vale en general si \( \gcd(m,n)\neq 1 \)?

Porque los divisores comunes se cuentan de forma distinta: por ejemplo \( \tau(4)=3 \) pero \( \tau(2)\tau(2)=4 \).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántos divisores positivos tiene \( 12 \)?
  2. Calcula \( \sigma_1(6) \), la suma de los divisores positivos de \( 6 \).
  3. Enuncia la fórmula de \( \tau(p^a) \) para un primo \( p \) y \( a\geq 0 \).
  4. ¿Cuál es \( \sigma_0(n) \) para cualquier \( n\geq 1 \)?
  5. Calcula \( \tau(7) \), donde \( 7 \) es primo.
  6. Calcula \( \tau(72) \) usando la factorización \( 72=2^3\cdot 3^2 \).
  7. Calcula \( \sigma_1(15) \) usando que \( \sigma_1 \) es multiplicativa.
  8. Calcula \( \sigma_2(4) \), la suma de los cuadrados de los divisores positivos de \( 4 \).
  9. Sea \( n=2^4\cdot 3^2 \). Calcula \( \tau(n^2) \) y compáralo con \( \tau(n)^2 \). ¿Son iguales?
  10. Demuestra o refuta: si \( \tau(m)=\tau(n) \) para enteros positivos \( m,n \), entonces \( m=n \). Da un contraejemplo si es falso.

Después de esto

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 6
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 4