Divisibilidad y factorización · Definición

Identidad de Bézout

teoría de números elementaldivisibilidad y factorización

Antes de empezar necesitas conocer

Esta identidad conecta el máximo común divisor con combinaciones lineales enteras de dos números. Es una herramienta central para resolver ecuaciones diofánticas lineales y para probar propiedades de la divisibilidad.

Definición

La identidad de Bézout afirma que, para enteros \( a \) y \( b \) no ambos nulos, existen enteros \( x \) e \( y \) tales que \( ax+by=\operatorname{mcd}(a,b) \).

\[ax+by=\gcd(a,b) \text{ para algunos } x,y\in\mathbb{Z}\]

Si \( d=\operatorname{mcd}(a,b) \), la identidad garantiza que \( d \) es el menor entero positivo de la forma \( ax+by \). Además, todo entero de la forma \( ax+by \) es múltiplo de \( d \), lo que se deduce directamente de que \( d \) divide a \( a \) y a \( b \).

Para \( a=252 \) y \( b=198 \), el algoritmo de Euclides da \( \operatorname{mcd}=18 \). Al retroceder por las divisiones se obtiene \( 18=252\cdot 4-198\cdot 5 \), así que \( x=4 \) e \( y=-5 \) son una solución.

Un error típico es creer que la identidad exige que \( x \) e \( y \) sean positivos. Los coeficientes pueden ser negativos o cero, y confundir esto lleva a descartar combinaciones válidas o a afirmar que no existen soluciones.

Para pensar

¿Por qué x e y pueden ser negativos en la identidad?

Porque la identidad solo exige que sean enteros, sin pedir que sean positivos.

Ejercicios 10

  1. Enuncia la identidad de Bézout para dos enteros \( a \) y \( b \).
  2. ¿Cuál es el menor entero positivo que se puede escribir como \( 12x+18y \) con \( x,y\in\mathbb{Z} \)?
  3. Indica el máximo común divisor de \( 35 \) y \( 14 \) para usarlo en la identidad de Bézout.
  4. ¿La identidad de Bézout afirma que \( ax+by \) puede valer cualquier entero si \( a \) y \( b \) son coprimos?
  5. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre el conjunto \( \{ax+by : x,y\in\mathbb{Z}\} \) es correcta?
  6. Si \( \operatorname{mcd}(a,b)=d \), ¿cuál de estas ecuaciones tiene solución entera \( x,y \) para todos los \( a \) y \( b \) con ese mcd?
  7. Para \( a=30 \) y \( b=12 \), ¿cuál es un par \( (x,y) \) con \( 30x+12y=6 \)?
  8. ¿Puede \( 8x+12y \) valer 2 para algunos enteros \( x,y \)?
  9. Para \( a=252 \) y \( b=198 \), con \( \operatorname{mcd}=18 \), ¿cuál es el par \( (x,y) \) que cumple \( 252x+198y=18 \)?
  10. Si \( 4 \) divide a \( ax+by \) para algunos enteros \( x,y \), ¿se deduce que \( 4 \) divide a \( a \) y a \( b \)?

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 2
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 1