Ecuación diofántica lineal

Si \(d=\operatorname{mcd}(a,b)\) divide a \(c\), la identidad de Bézout da enteros \(x_0,y_0\) con \(ax_0+by_0=d\); multiplicando por \(c/d\) se obtiene una solución particular. Todas las demás soluciones son de la forma \(x=x_0+\frac{b}{d}t\), \(y=y_0-\frac{a}{d}t\) con \(t\in\mathbb{Z}\), y no hay más.

Si \(d\) no divide a \(c\), la ecuación no tiene soluciones enteras, aunque tenga soluciones racionales. Esta condición es necesaria porque \(ax+by\) siempre es múltiplo de \(d\). En \(6x+9y=10\) se tiene \(d=3\), que no divide a \(10\), así que no existen soluciones enteras.

Por ejemplo, para \(7x+5y=1\) el algoritmo de Euclides da \(7(3)+5(-4)=1\), así que \((x_0,y_0)=(3,-4)\) es una solución particular y la familia general es \(x=3+5t\), \(y=-4-7t\).

Un error típico es olvidar dividir por \(d\) al construir la familia general: con \(a=4\), \(b=6\), \(c=2\) no se debe usar el paso \(6\) sino \(6/2=3\) en \(x\) y \(4/2=2\) en \(y\).