Teorema fundamental de la aritmética

La existencia se demuestra por inducción fuerte: si \(n\) no es primo, \(n = ab\) con \(1 < a, b < n\), y se factoriza cada uno. La unicidad usa el lema de Euclides: si un primo \(p\) divide a un producto \(ab\), entonces \(p\) divide a \(a\) o a \(b\). Así, dos factorizaciones distintas de un mismo entero llevan a una contradicción.

Considera \(n = 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\). Cualquier otra forma de escribir 360 como producto de primos reordena estos mismos factores, por ejemplo \(360 = 5 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 2^2\), pero nunca aparece un primo distinto. Esto muestra que los exponentes determinan completamente el número.

Un error típico es pensar que el teorema vale en cualquier anillo de enteros, cuando en \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\) el número 6 admite dos factorizaciones primas esencialmente distintas: \(2 \cdot 3\) y \((1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\). La unicidad depende de la propiedad de Euclides de los primos en \(\mathbb{Z}\), no solo de su definición.