Ley de reciprocidad cuadrática

La ley afirma que, si \(p\) y \(q\) son primos impares distintos, el producto \(\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)\) vale \(-1\) exactamente cuando \(p\equiv q\equiv 3 \pmod 4\), y vale \(1\) en los demás casos. Además, los suplementos \(\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}\) y \(\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}\) completan el cálculo de cualquier símbolo.

Por ejemplo, para decidir si \(3\) es residuo cuadrático módulo \(7\), como \(3\equiv 7\equiv 3\pmod 4\) el producto \(\left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{7}{3}\right)\) vale \(-1\). Como \(\left(\frac{7}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)=1\), se obtiene \(\left(\frac{3}{7}\right)=-1\), así que \(3\) no es residuo cuadrático módulo \(7\).

Un error típico es olvidar que la fórmula exige primos impares y distintos, o aplicar el signo \((-1)\) sin revisar las congruencias módulo 4. Otro error frecuente es tratar \(\left(\frac{p}{q}\right)\) y \(\left(\frac{q}{p}\right)\) como iguales en lugar de considerar su producto.