Fracción continua

Todo número racional \( p/q \) admite una representación finita como fracción continua, que se obtiene aplicando el algoritmo de Euclides a \( p \) y \( q \) y tomando los cocientes como términos \( a_i \). Las convergentes \( p_n/q_n \) cumplen las recurrencias \( p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2} \) y \( q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2} \), y se alternan alrededor del valor exacto. Los números irracionales tienen desarrollos infinitos, y los cuadráticos (raíces irracionales de polinomios de grado 2 con coeficientes enteros) son exactamente los de desarrollo periódico.

Para \( 415/93 \) el algoritmo de Euclides da cocientes 4, 2, 6, 7, de modo que \( 415/93 = [4; 2, 6, 7] \). Calculando las convergentes con las recurrencias se obtienen \( 4/1, 9/2, 58/13, 415/93 \), y la última coincide con el valor original. Así la fracción continua recupera exactamente el racional de partida.

Un error frecuente es olvidar que el último cociente del algoritmo de Euclides puede tomarse como \( a_n \) o escribirse como \( a_n - 1 \) seguido de un 1, lo que da dos representaciones distintas del mismo número. Otro error habitual es invertir el orden de los términos al construir la expresión desde el final hacia el principio.