Congruencias · Definición

Teorema de Wilson

teoría de números elementalcongruencias

Antes de empezar necesitas conocer

Este teorema relaciona los factoriales con la congruencia modular y ofrece una caracterización clásica de los números primos.

Definición

Para un número primo \(p\), \((p-1)!\) deja residuo \(-1\) al dividirse entre \(p\).

\[(p-1)!\equiv -1 \pmod{p}\]

Si \(p\) es primo, cada entero del \(1\) al \(p-1\) tiene inverso módulo \(p\). Los elementos que son inversos de sí mismos son sólo \(1\) y \(-1\), así que los demás se cancelan por pares en el producto y el resultado es \(-1\).

Ejemplo guía: para \(p = 5\), los residuos no nulos son \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\), y \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 = 24\), que deja residuo \(4\), es decir \(-1\) módulo \(5\). Así se comprueba el enunciado en un caso concreto.

Error típico: suponer que la congruencia vale para cualquier entero \(n\). Si \(n\) es compuesto, falla; por ejemplo, \(3! = 6\) deja residuo \(2\) módulo \(4\), no \(-1\).

Para pensar

¿Qué elementos de \(\{1,\dots,p-1\}\) son inversos de sí mismos módulo \(p\)?

Sólo \(1\) y \(-1\), porque \(x^2 \equiv 1 \pmod{p}\) implica \(p \mid (x-1)(x+1)\).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué afirma el teorema de Wilson?
  2. ¿Cuál es el residuo de \(4!\) al dividirse entre \(5\)?
  3. En el teorema de Wilson, ¿qué condición debe cumplir \(p\)?
  4. Para \(p = 3\), ¿cuánto vale \(2!\) módulo \(3\)?
  5. ¿Qué significa \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\)?
  6. Si \(n>1\) cumple \((n-1)!\equiv -1 \pmod{n}\), ¿qué puedes concluir sobre \(n\)?
  7. Módulo \(7\), ¿qué elementos de \(\{1,2,\dots,6\}\) son su propio inverso?
  8. ¿Cuánto vale \((p-1)! + 1\) módulo \(p\) para \(p = 5\)?
  9. Sabiendo que \(12! \equiv -1 \pmod{13}\), calcula el residuo de \(11!\) al dividirse entre \(13\).
  10. Para \(n = 4\), ¿se cumple \((n-1)! \equiv -1 \pmod{n}\)? Calcula \(3!\) módulo \(4\) y compara con \(-1\) módulo \(4\).

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 5
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 2