Teoría de grupos · Definición
Elemento inverso
Antes de empezar necesitas conocer
En un grupo, cada elemento puede "deshacerse" con otro: su inverso. Al operar \(a\) con \(a^{-1}\) se obtiene el neutro \(e\), lo que permite despejar ecuaciones dentro del grupo.
Definición
Dado \(a\in G\), un elemento \(b\in G\) es un inverso de \(a\) si al operar en ambos órdenes se obtiene el elemento neutro.
También se le llama: o simétrico, en notación aditiva
En un grupo, el inverso de \(a\) es único, y el inverso del inverso devuelve \(a\): \((a^{-1})^{-1}=a\). Además, \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\), con el orden invertido.
En \((\mathbb{Z},+)\), el inverso de \(5\) es \(-5\), porque \(5+(-5)=0\), que es el neutro aditivo. En \((\mathbb{Q}^*,\cdot)\), el inverso de \(3/4\) es \(4/3\).
Un error frecuente es asumir que \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\), que solo vale en grupos abelianos, o comprobar un único orden de la operación.
Para pensar
¿Qué debe cumplir un inverso de \(a\)?
Que \(a\ast b=b\ast a=e\), es decir, que al operar en ambos órdenes se obtenga el neutro.
Ejercicios 11
- ¿Cuál es el inverso de 5 en (ℤ, +)?
- ¿Cuál es el inverso de 3/4 bajo la multiplicación?
- En un grupo, el inverso de un elemento es...
- ¿Cuál identidad es correcta?
- Si a⁻¹ es el inverso de a, entonces...
- El inverso aditivo de -5 es...
- ¿Cuál afirmación describe correctamente el inverso de un elemento de un grupo?
- ¿Qué condición garantiza que una matriz cuadrada tenga inversa?
- Si \(b\) es inverso de \(a\), ¿qué igualdad se cumple siempre?
- En un grupo no abeliano, el inverso de a sigue cumpliendo...
- En \(\mathbb{Z}_7\setminus\{0\}\) con la multiplicación, ¿qué \(x\) cumple \(3\cdot x\cdot 3=1\)?
Referencias
- I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.