Demuestra que a^13≡ apmod30 para todo a coprimo con 30, y comprueba con a=7.

Es cierto, porque a^12≡ 1 módulo 3 y módulo 5, y 30=2· 3· 5

Es falso, porque 7^13not≡ 7pmod30

Es cierto, porque φ(30)=8 y 13≡ 1pmod 8

Es falso, porque φ(30)=10 y el exponente no es múltiplo de 10

Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-EULER-CONGRUENCIAS-010 · ★★★ Avanzado

Demuestra que \(a^{13}\equiv a\pmod{30}\) para todo \(a\) coprimo con 30, y comprueba con \(a=7\).

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A. Es cierto, porque \(a^{12}\equiv 1\) módulo 3 y módulo 5, y \(30=2\cdot 3\cdot 5\)

Explicación

La afirmación es cierta: \(30=2\cdot 3\cdot 5\) y, para \(a\) coprimo con 30, \(a^{12}\equiv 1\) módulo 3 y 5, luego \(a^{13}\equiv a\) módulo 3 y 5, y es trivial módulo 2. Con \(a=7\) se cumple \(7^{13}\equiv 7 \pmod{30}\).

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Repasa el concepto: Teorema de Euler

El teorema de Euler afirma que si \(a\) y \(n\) son coprimos, entonces \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\), generalizando el pequeño teorema de Fermat a módulos compuestos.

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}, \quad \gcd(a,n)=1\]

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