Ecuación diferencial

En álgebra, resolver una ecuación como \(x^2=4\) significa hallar números. Aquí la incógnita es una función: buscamos una \(y(x)\) que, al derivarla y sustituirla, haga cierta la igualdad. Por ejemplo, \(y'=2y\) pide una función cuya derivada sea el doble de ella misma, y \(y=e^{2x}\) lo cumple.

Cuando la función depende de una sola variable, las derivadas son ordinarias y hablamos de una ecuación diferencial ordinaria (EDO), que es el tema de este curso. Si la función depende de varias variables y aparecen derivadas parciales, como en \(u_t=u_{xx}\), la ecuación es en derivadas parciales y requiere otras herramientas.

Las ecuaciones diferenciales nacen al modelar: la tasa de cambio de una población, la rapidez de enfriamiento de un cuerpo o la aceleración de una masa en un resorte son derivadas, y la ley física las iguala a una expresión de la propia cantidad. Plantear la ecuación es la mitad del trabajo; la otra mitad es resolverla.

Un error frecuente es confundir una ecuación diferencial con la fórmula de una derivada: \(y'=2x\) no es «la derivada de \(y\)» sino una condición que \(y\) debe cumplir. A continuación clasificaremos estas ecuaciones por su orden y su linealidad, y luego veremos qué significa resolverlas.