Continuidad de funciones · Definición

Teorema del valor extremo

cálculocontinuidadteoremas

Antes de empezar necesitas conocer

El teorema del valor extremo garantiza que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene extremos absolutos. Así sabemos que existen antes de buscarlos.

Definición

Si \(f\) es continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), entonces \(f\) alcanza un máximo y un mínimo absolutos en \([a,b]\).

\[f\ \text{continua en }[a,b]\ \Rightarrow\ \exists\,m,M\in[a,b]:\ f(m)\le f(x)\le f(M)\]

Una función continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) alcanza un máximo y un mínimo absolutos. No «se acerca» a ellos: los toma realmente.

Las dos hipótesis importan. En \((0,1)\) la función \(1/x\) no está acotada; en \([0,\infty)\) la función \(x\) no tiene máximo. Si falta cerrado o acotado, el teorema puede fallar.

Este resultado justifica buscar extremos en problemas de optimización: sabemos que existen antes de buscarlos.

Para pensar

¿Por qué \(f(x)=x\) en \((0,1)\) no contradice el teorema?

Porque el intervalo es abierto: no alcanza máximo ni mínimo y el teorema exige un intervalo cerrado.

¿Alcanza máximo \(f(x)=x/(1+|x|)\) en \(\mathbb R\)?

No. Es continua y está acotada por \(1\), pero \(f(x)<1\) para todo \(x\) y \(f(x)\to1\) cuando \(x\to\infty\). Falla que el dominio sea acotado.

Ejercicios 20

  1. ¿Para cuál de estas funciones NO está garantizado un máximo absoluto por el teorema del valor extremo?
  2. ¿Qué condición del teorema del valor extremo falla para \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) en \([-1,1]\)?
  3. ¿Qué garantiza el teorema del valor extremo para una función continua en \([a,b]\)?
  4. ¿Cuál de estos intervalos es cerrado y acotado?
  5. ¿Qué significa que \(f\) tenga un máximo absoluto en \([a,b]\)?
  6. ¿Cuál de estas funciones NO es continua en \([0,1]\)?
  7. Sea \(f(x)=x^{3}-3x\) en \([-2,2]\). ¿Cuál es el valor máximo absoluto de \(f\) en ese intervalo?
  8. ¿Cuál de estas funciones muestra que el teorema falla si la función no es continua?
  9. ¿Qué significa que un intervalo sea acotado?
  10. Sea \(f(x)=x^{2}\) continua en \([0,3]\). ¿Cuál es el máximo absoluto de \(f\) en \([0,3]\)?
  11. Halla el máximo y el mínimo de \(f(x)=x^2\) en \([-1,2]\).
  12. ¿Cuál es el máximo de \(f(x)=x^2-4x\) en \([0,5]\)?
  13. ¿Por qué el teorema no se aplica a \(f(x)=1/x\) en \((0,1]\), aunque \(f\) es continua allí?
  14. Sea \(g(x)=x\) en \([0,1)\). ¿Cuál afirmación es verdadera?
  15. Sea \(f(x)=\cos x\) en \([0,\pi]\). ¿En qué puntos alcanza su máximo y su mínimo?
  16. Si \(f\) es continua en \([a,b]\), ¿qué consecuencia inmediata tiene el teorema?
  17. En la demostración se toma \((x_n)\) en \([a,b]\) con \(f(x_n)\to\sup f\). ¿Qué teorema da una subsucesión convergente de \((x_n)\)?
  18. Halla el máximo y el mínimo de \(f(x)=x^3-3x\) en \([-2,3]\).
  19. Sea \(f(x)=x\) si \(0\le x<1\) y \(f(1)=0\), definida en \([0,1]\). ¿Qué hipótesis del teorema falla y qué ocurre?
  20. Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y \(M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}\). ¿Qué es cierto?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.4, Teorema 4.4.3
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Teorema 4.16
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §5.3, Teorema 5.3.4