Integrales · Definición

Integral definida

cálculointegrales

Antes de empezar necesitas conocer

Idea central del cálculo: medir áreas curvas sumando infinitos rectángulos cada vez más finos.

Definición

La integral definida de \(f\) en \([a,b]\) es el límite de las sumas de Riemann cuando \(n\to\infty\). Representa el área neta con signo entre la gráfica de \(f\) y el eje \(x\).

\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\,\Delta x\]

La integral definida \(\int_a^b f(x)\,dx\) es el límite de las sumas de Riemann cuando los rectángulos se hacen infinitamente delgados. Mide el área neta con signo: lo que queda sobre el eje suma, lo que queda debajo resta.

Cualquier función continua en un intervalo cerrado es integrable. Además hereda propiedades útiles: linealidad, aditividad en intervalos y monotonía.

Calcularla por definición es pesado; el siguiente paso (teorema fundamental) la conecta con las antiderivadas.

Se le llama también integral de Riemann.

Para pensar

¿Qué significa que \(\int_a^b f\) sea negativa?

Que, en neto, hay más área bajo el eje x que sobre él.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuánto vale \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx\)?
  2. La integral definida \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) con \(f(x)\ge 0\) representa...
  3. ¿Cuál es la notación correcta de la integral definida de \(f\) de \(a\) a \(b\)?
  4. ¿Cómo se llama la integral definida construida como límite de sumas de Riemann?
  5. En las sumas de Riemann, ¿qué representa \(\Delta x\)?
  6. ¿Cuánto vale \(\int_0^2 3\,dx\)?
  7. ¿Cuánto vale \(\int_1^3 2x\,dx\)?
  8. ¿Es cierto que si \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=0\) entonces \(f(x)=0\) para todo \(x\in[-1,1]\)?
  9. ¿Qué propiedad permite separar la integral de una suma de funciones?
  10. Si \(\int_0^3 f(x)\,dx=10\) y \(\int_0^1 f(x)\,dx=4\), ¿cuánto vale \(\int_1^3 f(x)\,dx\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1967.