Espacios métricos · Definición

Espacio métrico

topologíaespacios métricos

Medir qué tan lejos están dos objetos es la herramienta mínima para hablar de cercanía, límites y continuidad más allá de la recta real.

Definición

Un espacio métrico es un conjunto \(X\) junto con una distancia \(d\) entre sus puntos: un número no negativo para cada par, simétrico, nulo solo entre un punto y él mismo, y que cumple la desigualdad triangular.

\[\begin{aligned}d(x,y)&=0\iff x=y,\qquad d(x,y)=d(y,x),\\ d(x,z)&\le d(x,y)+d(y,z)\end{aligned}\]

El ejemplo guía es \(\mathbb{R}\) con \(d(x,y)=|x-y|\), y en \(\mathbb{R}^n\) la distancia euclidiana \(d_2(P,Q)=\sqrt{\sum_i (p_i-q_i)^2}\). Pero la definición no exige que los puntos sean números: pueden ser funciones, palabras o sucesiones, siempre que la distancia cumpla los tres axiomas.

Los axiomas se leen así: la distancia nunca es negativa y solo se anula entre un punto y él mismo (separación); ir de \(x\) a \(y\) cuesta lo mismo que de \(y\) a \(x\) (simetría); y dar un rodeo por \(y\) nunca acorta el camino de \(x\) a \(z\) (desigualdad triangular). Esta última es la que más suele fallar: \((x-y)^2\) es simétrica y separa puntos, pero con \(0,1,2\) da \(4>1+1\).

Un mismo conjunto admite muchas métricas. En \(\mathbb{R}^2\) conviven la euclidiana, la de taxi \(d_1=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|\) y la del máximo \(d_\infty\), y siempre \(d_\infty\le d_2\le d_1\). También existe la métrica discreta, con \(d(x,y)=1\) si \(x\ne y\), que vuelve a todos los puntos equidistantes. Todo subconjunto de un espacio métrico hereda la métrica restringida.

Con la distancia en la mano se puede definir la bola abierta, y de ella los conjuntos abiertos, los límites de sucesiones y la continuidad. Ese es el camino que sigue este tema hacia la topología general.

Para pensar

¿Es \(d(x,y)=\sqrt{|x-y|}\) una métrica en \(\mathbb{R}\)?

Sí. Es no negativa, simétrica y se anula solo si \(x=y\). Para la desigualdad triangular basta notar que \(\sqrt{a+b}\le\sqrt a+\sqrt b\) para \(a,b\ge0\), aplicado a \(a=|x-y|\) y \(b=|y-z|\).

Si dos puntos distintos tuvieran distancia cero, ¿qué dejaría de funcionar?

No se podrían distinguir puntos por su distancia: la «bola» de radio pequeño alrededor de uno contendría al otro, y el límite de una sucesión dejaría de ser único.

Ejercicios 10

  1. En \(\mathbb{R}^2\) con la distancia euclidiana, ¿cuánto vale la distancia entre \((1,2)\) y \((4,6)\)?
  2. Con la distancia de taxi \(d_1(P,Q)=|p_1-q_1|+|p_2-q_2|\), ¿cuánto vale \(d_1((1,2),(4,6))\)?
  3. Con la distancia del máximo \(d_\infty(P,Q)=\max\{|p_1-q_1|,|p_2-q_2|\}\), ¿cuánto vale \(d_\infty((1,2),(4,6))\)?
  4. Sea \(X\) con la métrica discreta (\(d(a,b)=1\) si \(a\ne b\) y \(d(a,a)=0\)). Para tres puntos distintos \(a,b,c\), ¿cuánto vale \(d(a,b)+d(b,c)+d(a,c)\)?
  5. En un espacio métrico, si \(d(x,y)=0\), ¿qué se concluye?
  6. ¿Por qué \(d(x,y)=|x^2-y^2|\) no es una métrica en \(\mathbb{R}\)?
  7. Sea \(d(x,y)=(x-y)^2\) en \(\mathbb{R}\). Para los puntos \(0,1,2\), ¿cuánto vale \(d(0,2)-\big(d(0,1)+d(1,2)\big)\)?
  8. En \(\mathbb{R}^3\) con la distancia euclidiana, ¿cuánto vale la distancia entre \((3,4,8)\) y \((1,1,2)\)?
  9. Para \(P=(0,0)\) y \(Q=(3,4)\) en \(\mathbb{R}^2\), ¿qué orden entre las distancias \(d_\infty\), \(d_2\) (euclidiana) y \(d_1\) (de taxi) es correcto?
  10. Si \((X,d)\) es un espacio métrico y \(A\subseteq X\), ¿qué ocurre con \(d\) restringida a \(A\times A\)?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §20
  • Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 2