Espacios métricos · Definición

Convergencia en un espacio métrico

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Antes de empezar necesitas conocer

Decir que una sucesión «se acerca» a un punto necesita una distancia. La convergencia métrica da el sentido exacto de ese acercamiento y es la base de los límites y de la continuidad.

Definición

Una sucesión \((x_n)\) en un espacio métrico \((X,d)\) converge a \(x\in X\) si, dado cualquier \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual \(x_n\) dista de \(x\) menos que \(\varepsilon\).

\[\forall\varepsilon>0\ \ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow d(x_n,x)<\varepsilon\]

La definición equivale a pedir que la sucesión de números reales \(d(x_n,x)\) tienda a \(0\), o bien que toda bola \(B(x,\varepsilon)\) contenga a todos los términos salvo un número finito. En \(\mathbb{R}\) con \(d(x,y)=|x-y|\) se recupera el límite del cálculo; en \(\mathbb{R}^n\) euclidiano, converger equivale a que cada coordenada converja.

El límite, si existe, es único: si \(x_n\to x\) y \(x_n\to y\), la desigualdad triangular da \(d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)\), que es menor que cualquier \(\varepsilon>0\). Además toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite, y una sucesión convergente es acotada.

Depende de dos cosas: la métrica y el espacio. Con la métrica discreta solo convergen las sucesiones constantes desde cierto índice. Y \(1/(n+1)\) converge en \(\mathbb{R}\) pero no en \(X=(0,1)\), porque su límite \(0\) queda fuera de \(X\). Ese fenómeno motiva el siguiente concepto, los espacios completos.

Para pensar

¿Qué cambia si en \(\mathbb{R}^2\) se usa la métrica de taxi en lugar de la euclidiana?

Nada respecto a qué sucesiones convergen ni a sus límites: \(d_\infty\le d_2\le d_1\le 2d_\infty\), así que \(d_1(x_n,x)\to0\) si y solo si \(d_2(x_n,x)\to0\). Sí cambia el valor del \(N\) para un \(\varepsilon\) dado.

¿Converge \(x_n=(-1)^n/n\) en \(\mathbb{R}\)?

Sí, a \(0\), porque \(d(x_n,0)=1/n\to0\); el signo no afecta a la distancia.

Ejercicios 10

  1. En \(\mathbb{R}\) usual, ¿a qué límite converge \(x_n=1/n\)?
  2. Para \(x_n=1/n\) y \(\varepsilon=0.01\) en \(\mathbb{R}\), ¿cuál es el menor \(N\) tal que \(d(x_n,0)<\varepsilon\) para todo \(n\ge N\)?
  3. En \(\mathbb{R}^2\) euclidiano, ¿a qué punto converge \(x_n=\left(\tfrac1n,\tfrac{n+1}{n}\right)\)?
  4. En \(\mathbb{R}\) con la métrica discreta, ¿cuál de estas sucesiones converge?
  5. En \(\mathbb{R}\) usual, ¿qué ocurre con \(x_n=(-1)^n\)?
  6. Si \(x_n\to x\) y \(x_n\to y\) en un espacio métrico, ¿qué argumento prueba que \(x=y\)?
  7. Sea \(X=(0,1)\) con la distancia usual y \(x_n=\tfrac1{n+1}\). ¿Converge en \(X\)?
  8. En \(\mathbb{R}^2\) con \(d_\infty(p,q)=\max(|p_1-q_1|,|p_2-q_2|)\), sea \(x_n=\left(\tfrac1n,\tfrac1{n^2}\right)\to(0,0)\). ¿Cuál es el menor \(N\) tal que \(d_\infty(x_n,(0,0))<0.1\) para todo \(n\ge N\)?
  9. ¿Cuál afirmación es equivalente a \(x_n\to x\)?
  10. En \(\mathbb{R}\) usual, \(x_n=1+\tfrac1n\) y \(y_n=3-\tfrac1n\). ¿A qué número tiende \(d(x_n,y_n)\)?

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Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §21
  • Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 2