Espacios métricos · Definición

Bola abierta

topologíaespacios métricos

Antes de empezar necesitas conocer

La bola abierta es la unidad básica de «cerca de un punto»: con ella se definen los conjuntos abiertos y, a partir de ellos, límites y continuidad.

Definición

La bola abierta \(B(x,r)\) de centro \(x\) y radio \(r>0\) en un espacio métrico \((X,d)\) es el conjunto de los puntos de \(X\) cuya distancia a \(x\) es menor que \(r\).

\[B(x,r)=\{\,y\in X : d(x,y)

En \(\mathbb{R}\) usual, \(B(x,r)\) es el intervalo \((x-r,x+r)\); en \(\mathbb{R}^2\) euclidiano, un disco sin su circunferencia. La desigualdad es estricta, así que los puntos a distancia exactamente \(r\) quedan fuera. Y siempre \(x\in B(x,r)\), porque \(d(x,x)=0<r\): ninguna bola es vacía.

La forma de la bola depende de la métrica. Con la distancia del máximo, \(B((0,0),1)\) es el cuadrado \((-1,1)^2\); con la de taxi, un rombo de área \(2\); con la discreta, \(B(x,1)=\{x\}\) y \(B(x,r)=X\) si \(r>1\). Por eso conviene tener presente siempre cuál es \(d\).

Una propiedad que se usará constantemente: si \(y\in B(x,r)\) y \(s=r-d(x,y)>0\), entonces \(B(y,s)\subseteq B(x,r)\). Se prueba con la desigualdad triangular: si \(d(y,z)<s\), entonces \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)<r\). Dicho de otro modo, desde cualquier punto de una bola se puede dar un paso pequeño sin salir de ella.

Dos bolas pueden intersectarse, pero la intersección de dos bolas contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos, gracias a la propiedad anterior. Esto es justo lo que se necesita para convertir las bolas en la base de una topología.

Para pensar

En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuándo \(B(a,r)\subseteq B(b,s)\)?

Cuando \((a-r,a+r)\subseteq(b-s,b+s)\), es decir, \(|a-b|+r\le s\).

¿Puede una bola de radio grande tener un solo punto?

Sí, si el radio es chico respecto a las distancias del espacio: en la métrica discreta, \(B(x,1)=\{x\}\). Con radio mayor que 1 ya sería todo el espacio.

Ejercicios 10

  1. En \(\mathbb{R}\) con \(d(x,y)=|x-y|\), ¿qué intervalo es la bola abierta \(B(2,3)\)?
  2. En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuál de estos puntos pertenece a \(B(0,2)\)?
  3. En \(\mathbb{R}^2\) euclidiano, ¿cuál punto está en \(B((0,0),1)\)?
  4. Con la distancia del máximo \(d_\infty\) en \(\mathbb{R}^2\), la bola \(B((0,0),2)\) es un cuadrado. ¿Cuánto vale su área?
  5. Con la distancia de taxi \(d_1\) en \(\mathbb{R}^2\), la bola \(B((0,0),1)\) es un rombo de vértices \((\pm1,0)\) y \((0,\pm1)\). ¿Cuánto vale su área?
  6. En un espacio con la métrica discreta, ¿cuál es la bola \(B(a,1)\)?
  7. En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuál es la intersección \(B(0,2)\cap B(3,2)\)?
  8. ¿Cuántos puntos \((a,b)\) con coordenadas enteras hay en la bola euclidiana \(B((0,0),3)\)?
  9. Sea \(y\in B(a,r)\) y \(s=r-d(a,y)\). En \(\mathbb{R}\) con \(a=0\), \(r=5\) y \(y=3\), ¿cuánto vale \(s\), el radio que asegura \(B(y,s)\subseteq B(a,r)\)?
  10. ¿Qué afirmación es verdadera para toda bola abierta \(B(x,r)\) con \(r>0\) en cualquier espacio métrico?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §20
  • Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 2