Integrales · Definición

Teorema fundamental del cálculo

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Antes de empezar necesitas conocer

El teorema fundamental del cálculo une derivar e integrar, que son operaciones inversas. Gracias a él podemos calcular áreas sin sumar rectángulos.

Definición

Conecta derivadas e integrales: una integral definida equivale a una antiderivada evaluada en los extremos, y derivar una integral con límite superior variable devuelve el integrando.

\[\begin{gathered}\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\\ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\end{gathered}\]

Es el resultado que une las dos mitades del cálculo: derivar e integrar son operaciones inversas. Tiene dos partes. La primera dice que \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)\); la segunda, que \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) para cualquier antiderivada \(F\).

Gracias a la segunda parte ya no sumamos rectángulos: basta encontrar una antiderivada y evaluarla en los extremos.

Es quizá el teorema más importante de Cálculo I: explica por qué el área acumulada y la razón de cambio son dos caras de lo mismo.

Para pensar

Calcula \(\int_0^2 x\,dx\).

Una antiderivada es \(x^2/2\); da \(2-0=2\).

Si \(F(x)=\int_a^x f\) y \(f\) tiene un salto en \(c\), ¿es \(F\) derivable en \(c\)?

No: \(F\) es continua, pero sus pendientes laterales en \(c\) son los dos valores distintos de \(f\), así que tiene una esquina.

Ejercicios 20

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac1x\int_0^x\cos(t^2)\,dt\)

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int_{0}^{2} \left(3 x^{2} + 1\right)\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int_{1}^{3} 2 x\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin {x}\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx\)
  5. \(\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,dx\)
  6. \(\displaystyle \int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx\)
  7. \(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^x t^2\,dt\)
  8. \(\displaystyle \int_1^3 2x\,dx\)
  9. \(\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^{t}\,dt\)
  10. \(\displaystyle \int_{-1}^{2}x^2\,dx\)

Problemas

  1. Según el teorema fundamental del cálculo, \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{1}^{x} \cos(t^{2})\,dt\) es igual a...
  2. ¿Qué afirma la segunda parte del teorema fundamental del cálculo?
  3. Según el teorema fundamental, ¿cuánto vale \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} \sin(t)\,dt\)?
  4. ¿Qué afirma la primera parte del teorema fundamental del cálculo?
  5. Evalúa el área bajo un arco de seno: \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx\).
  6. Si \(F(x)=\displaystyle\int_1^x\cos(t^2)\,dt\), ¿cuánto vale \(F'(x)\)?
  7. Sea \(F(x)=\displaystyle\int_0^x (t^2-4)\,dt\). ¿En qué \(x>0\) tiene \(F\) un mínimo local?
  8. Si \(F(x)=\displaystyle\int_x^{x^2}t\,dt\), ¿cuánto vale \(F'(x)\)?
  9. Se calcula \(\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}=\Big[-\frac1x\Big]_{-1}^{1}=-2\). ¿Cuál es el error?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1967.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §7.5, Teorema 7.5.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 6, Teorema 6.20
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §7.3