Aplicaciones de la derivada · Definición

Teorema del valor medio

cálculoaplicacionesteoremas

Antes de empezar necesitas conocer

Este teorema dice que, entre dos puntos de una curva, hay al menos un punto donde la tangente es paralela a la secante. Lo usarás para deducir propiedades globales a partir de la derivada.

Definición

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), existe \(c\in(a,b)\) tal que la pendiente de la tangente en \(c\) es igual a la pendiente de la recta secante que une \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\).

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Las dos hipótesis son necesarias: si \(f\) tiene una esquina en \((a,b)\) o un salto en \(a\) o en \(b\), el valor c puede no existir. El teorema solo garantiza que c existe, sin indicar dónde está.

Con \(f(x)=x^{2}\) en \([1,3]\), la secante tiene pendiente \(\frac{9-1}{3-1}=4\). Como \(f'(c)=2c\), resolvemos \(2c=4\) y obtenemos \(c=2\), que está dentro de \((1,3)\).

Error típico: aplicar el teorema sin revisar las hipótesis. Con \(f(x)=|x|\) en \([-1,1]\) la secante tiene pendiente \(0\), pero \(f'(x)\) nunca vale \(0\) porque \(f\) no es derivable en \(0\).

Para pensar

Si f’(x)=0 para todo x en un intervalo, ¿qué concluyes?

Que f es constante en ese intervalo (por el teorema del valor medio).

¿Por qué el teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle?

Si \(f(a)=f(b)\), la pendiente de la cuerda es cero y la conclusión pide \(f'(c)=0\), que es Rolle. Y a su vez Rolle es el paso clave de la demostración.

Ejercicios 20

  1. Halla el valor c que garantiza el teorema del valor medio para \(f(x)=x^{2}\) en \([1,3]\).
  2. Halla el valor c que garantiza el teorema del valor medio para \(f(x)=x^{3}\) en \([0,2]\).
  3. Halla el valor c que garantiza el teorema del valor medio para \(f(x)=\sqrt{x}\) en \([1,4]\).
  4. ¿Qué hipótesis exige el teorema del valor medio sobre \(f\) en \([a,b]\)?
  5. Calcula la pendiente de la secante de \(f(x)=x^{3}\) entre \(x=1\) y \(x=2\).
  6. Según el teorema del valor medio, ¿qué pendiente debe tener la tangente en el punto c?
  7. Halla el valor c que garantiza el teorema del valor medio para \(f(x)=x^{2}-4x\) en \([0,4]\).
  8. Halla el valor c que garantiza el teorema del valor medio para \(f(x)=x^{3}-3x\) en \([0,2]\).
  9. Si \(f'(x)=0\) para todo \(x\) en \((a,b)\) y \(f\) es continua en \([a,b]\), ¿qué se puede afirmar de \(f\)?
  10. ¿Se puede aplicar el teorema del valor medio a \(f(x)=|x|\) en \([-1,1]\)?
  11. Para \(f(x)=x^2\) en \([1,3]\), ¿qué punto \(c\) garantiza el teorema del valor medio?
  12. Para \(f(x)=x^3\) en \([0,2]\), ¿qué valor de \(c\in(0,2)\) cumple la conclusión del teorema?
  13. Para \(f(x)=\sqrt{x}\) en \([1,4]\), ¿cuál es el punto \(c\) del teorema del valor medio?
  14. Para \(f(x)=e^x\) en \([0,1]\), ¿qué \(c\) cumple \(f'(c)=f(1)-f(0)\)?
  15. Para \(f(x)=\ln x\) en \([1,e]\), ¿cuál es el punto \(c\) del teorema del valor medio?
  16. ¿Qué hipótesis exige el teorema del valor medio?
  17. Si \(f'(x)=0\) para todo \(x\) en un intervalo \(I\), ¿qué se concluye?
  18. ¿Puede aplicarse el teorema del valor medio a \(f(x)=|x|\) en \([-1,2]\)?
  19. Una función derivable cumple \(f'(x)\le3\) para todo \(x\) y \(f(1)=2\). ¿Cuál es la mayor cota que se puede garantizar para \(f(5)\)?
  20. Si \(g'(x)=2x\) en \(\mathbb R\) y \(g(1)=5\), ¿cuánto vale \(g(3)\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §5.3, Teorema 5.3.2
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 5, Teorema 5.10
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §6.2, Teorema 6.2.4