Espacios métricos · Definición
Conjunto abierto en un espacio métrico
Antes de empezar necesitas conocer
Los conjuntos abiertos son los que no tienen borde propio: desde cualquiera de sus puntos se puede moverse un poco en todas direcciones sin salir. Con ellos se construye toda la topología.
Definición
Un subconjunto \(U\) de un espacio métrico \((X,d)\) es abierto si cada punto \(x\in U\) es centro de alguna bola abierta \(B(x,r)\) contenida en \(U\).
En \(\mathbb{R}\) usual los intervalos \((a,b)\) son abiertos y los \([a,b]\) no, porque en un extremo cualquier bola se sale. En \(\mathbb{R}^2\), un disco sin su circunferencia es abierto; con la circunferencia deja de serlo. El vacío y todo el espacio \(X\) son siempre abiertos (el vacío cumple la condición sin puntos que revisar).
Toda bola abierta es un conjunto abierto: si \(y\in B(x,r)\) y \(s=r-d(x,y)>0\), la desigualdad triangular da \(B(y,s)\subseteq B(x,r)\). Por eso las bolas son los ladrillos básicos: un conjunto es abierto exactamente cuando es unión de bolas abiertas.
Las uniones arbitrarias de abiertos son abiertas, y las intersecciones finitas también. La palabra «finitas» importa: \(\bigcap_n(-1/n,1/n)=\{0\}\) no es abierto. Estas tres propiedades (más \(\varnothing\) y \(X\)) son las que luego se tomarán como axiomas de una topología.
Ser abierto depende del espacio ambiente: \((1/2,1]\) es abierto en \(X=(0,1]\) pero no en \(\mathbb{R}\). Con la métrica discreta todo subconjunto es abierto, y cambiar la métrica por otra equivalente (euclidiana, taxi o máximo) no cambia cuáles conjuntos de \(\mathbb{R}^2\) son abiertos.
Para pensar
Si \(U\) es abierto y \(x\in U\), ¿puede haber un radio \(r\) que sirva para todos los puntos de \(U\) a la vez?
En general no. En \(U=(0,1)\) los puntos cercanos a \(0\) o a \(1\) exigen radios cada vez menores; el radio depende del punto.
¿Es \(\mathbb{R}\) abierto como subconjunto de \(\mathbb{R}^2\) (el eje \(x\))?
No. Cualquier disco centrado en un punto del eje contiene puntos con \(y\ne0\), así que ninguna bola cabe dentro del eje.
Ejercicios 10
- En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuál de estos conjuntos es abierto?
- Sea \(U=(0,3)\) en \(\mathbb{R}\). ¿Cuál es el mayor radio \(r\) tal que \(B(1,r)\subseteq U\)?
- ¿Por qué \((0,1]\) no es abierto en \(\mathbb{R}\) usual?
- En \(\mathbb{R}^2\) con la distancia euclidiana, ¿cuál de estos conjuntos es abierto?
- En un espacio métrico \((X,d)\) con la métrica discreta, ¿qué subconjuntos son abiertos?
- Sea \(U=\{x\in\mathbb{R}: x^2<4\}\) con la distancia usual. ¿Es abierto?
- ¿Qué es \(\bigcap_{n\ge1}\left(-\tfrac1n,\tfrac1n\right)\) en \(\mathbb{R}\)?
- Sea \(U=B(0,1)\) en \(\mathbb{R}\). ¿Cuál es el mayor radio \(r\) tal que \(B(0.9,r)\subseteq U\)?
- ¿Es \(\mathbb{Q}\) un subconjunto abierto de \(\mathbb{R}\) usual?
- Sea \(X=(0,1]\) con la distancia usual. ¿Es \((1/2,1]\) abierto en el espacio \(X\)?
Después de esto
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §20
- Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 2