Espacios métricos · Definición

Espacio métrico completo

topologíaespacios métricoscompletitud

Antes de empezar necesitas conocer

La completitud garantiza que un espacio no tiene «huecos»: toda sucesión que se aprieta sobre sí misma encuentra su límite dentro del espacio.

Definición

Un espacio métrico \(X\) es completo si toda sucesión de Cauchy \((x_n)\) en \(X\) converge a un punto \(x\) de \(X\). Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan por estar arbitrariamente cerca entre sí.

\[(x_n)\ \text{de Cauchy}\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in X:\ x_n\to x\]

Formalmente, \((x_n)\) es de Cauchy cuando para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\) tal que \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) para todo \(m,n\ge N\). A diferencia de la convergencia, esta condición no menciona ningún límite: solo compara los términos entre sí. Por eso sirve para decidir «desde dentro» si una sucesión debería converger.

Toda sucesión convergente es de Cauchy, por la desigualdad triangular, así que la completitud pide el recíproco. Los números reales son el ejemplo básico: es el axioma del supremo dicho con sucesiones. En cambio \(\mathbb{Q}\) no es completo, porque las aproximaciones decimales de \(\sqrt2\) son de Cauchy y su límite es irracional; tampoco lo es \((0,1]\), donde \(1/n\) se acumula en un \(0\) que no pertenece al espacio.

La completitud es una propiedad de la distancia y no solo de los abiertos: \(\mathbb{R}\) con \(|x-y|\) y con \(|\arctan x-\arctan y|\) tiene los mismos conjuntos abiertos, pero solo el primero es completo. Un error típico es creer que «acotado» basta o que la completitud depende solo de la forma del conjunto; lo que importa es que los límites de las sucesiones de Cauchy no se escapen.

Con la completitud se demuestran resultados potentes, como el teorema del punto fijo de Banach y el teorema de categoría de Baire. En el siguiente tema pasamos de las distancias a la noción más general de topología.

Para pensar

¿Por qué una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge?

Porque los términos de la subsucesión se acercan al límite \(x\) y los demás términos se acercan a ellos; la desigualdad triangular da \(d(x_n,x)<\varepsilon\) para \(n\) grande.

¿Es completo el conjunto \([0,1]\) con la distancia usual?

Sí: una sucesión de Cauchy converge en \(\mathbb{R}\) y, al ser \([0,1]\) cerrado, el límite está en \([0,1]\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de los siguientes espacios métricos, con la distancia usual, es completo?
  2. La sucesión \(x_n=1/n\) es de Cauchy en \((0,1]\). ¿Qué se concluye sobre este espacio?
  3. Los términos 1; 1,4; 1,41; 1,414; … (aproximaciones decimales de \(\sqrt2\)) son racionales y forman una sucesión de Cauchy. ¿Qué afirmación es correcta?
  4. Sobre un conjunto \(X\) se usa la distancia discreta: \(d(x,y)=1\) si \(x\neq y\) y \(d(x,x)=0\). ¿Es completo \((X,d)\)?
  5. Si \(x_n\to x\) en un espacio métrico \((X,d)\), ¿qué afirmación es siempre cierta?
  6. Para \(x_n=1/n\) en \(\mathbb{R}\), ¿cuál es el menor \(N\) tal que \(|x_m-x_n|<0{,}01\) para todo \(m,n\ge N\)?
  7. Sea \((x_n)\) de Cauchy en \(X\) con una subsucesión que converge a \(x\in X\). ¿Qué se puede asegurar?
  8. ¿Cuál de estas sucesiones es de Cauchy en \(\mathbb{R}\)?
  9. Sobre \(\mathbb{R}\) se define \(d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|\) (es una distancia). ¿Es completo \((\mathbb{R},d)\)?
  10. Sea \((X,d)\) completo y \(d'(x,y)=\min\{d(x,y),1\}\). ¿Qué se cumple?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §43
  • Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 2