Relaciones y funciones · Definición

Relación binaria

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una relación binaria formaliza frases como «es menor que» o «divide a» como colecciones de pares ordenados.

Definición

Un conjunto de pares ordenados \((a,b)\) que indica qué elementos de \(A\) están relacionados con qué elementos de \(B\).

\[R \subseteq A \times B\]

Si \(R\) es una relación de \(A\) en \(B\), se escribe \((a,b)\in R\) para indicar que \(a\) está relacionado con \(b\). Cuando \(A=B\), se dice que \(R\) es una relación sobre \(A\). El dominio de \(R\) es el conjunto de las primeras componentes de sus pares, y el rango es el de las segundas. Como \(R\) es un conjunto, dos relaciones son iguales exactamente cuando tienen los mismos pares.

Ejemplo guía: sea \(A=\{1,2,3\}\) y \(R=\{(a,b)\in A\times A : a\le b\}\). Entonces \(R=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\}\), con 6 de los 9 pares posibles en \(A\times A\). Su dominio y su rango son ambos \(A\).

Error típico: confundir \((a,b)\) con \(\{a,b\}\). En los pares ordenados el orden importa: \((1,2)\neq(2,1)\), mientras que \(\{1,2\}=\{2,1\}\). Por eso una relación puede contener \((a,b)\) sin contener \((b,a)\). Las propiedades como la simetría o la reflexividad se estudian aparte.

Para pensar

¿Cuántas relaciones distintas hay de \(A\) en \(A\) si \(|A|=3\)?

512, porque \(A\times A\) tiene 9 pares y \(2^9=512\)

Ejercicios 10

  1. ¿Qué es una relación binaria de \(A\) en \(B\)?
  2. ¿Cuántos pares tiene \(A \times B\) si \(|A|=2\) y \(|B|=3\)?
  3. Si \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), ¿cuál es el dominio de \(R\)?
  4. Si \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), ¿cuál es el rango de \(R\)?
  5. ¿Cuál es la notación habitual para decir que \(a\) está relacionado con \(b\) mediante \(R\)?
  6. Sea \(A=\{1,2,3\}\). ¿Cuántas relaciones distintas hay de \(A\) en \(A\)?
  7. Sea \(A=\{1,2,3\}\) y \(R=\{(a,b)\in A\times A : a\le b\}\). ¿Cuál de estos pares está en \(A\times A\) pero no en \(R\)?
  8. Sea \(R=\{(a,b)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : b=a+1\}\). ¿Cuál de estos pares pertenece a \(R\)?
  9. Una relación \(R\) sobre \(A\) es reflexiva si \((a,a)\in R\) para todo \(a\in A\). Con \(A=\{1,2,3\}\), ¿cuántas relaciones reflexivas sobre \(A\) hay?
  10. Sea \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(R=\{(a,b)\in A\times A : a+b \text{ es par}\}\). ¿Cuántos pares tiene \(R\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.