Cardinales · Definición

Teorema de Schröder-Bernstein

teoría de conjuntoscardinales

Antes de empezar necesitas conocer

¿Basta con meter cada conjunto dentro del otro para concluir que tienen el mismo tamaño, sin construir una correspondencia exacta?

Definición

El teorema de Schröder-Bernstein afirma que si existen inyecciones de \(A\) en \(B\) y de \(B\) en \(A\), entonces existe una biyección entre \(A\) y \(B\).

\[|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|\]

Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to A\) son inyectivas, el teorema no exige construir una biyección a mano. Su prueba descompone \(A\) y \(B\) en cadenas formadas al aplicar alternadamente \(f\) y \(g\), y en cada cadena usa \(f\) o la inversa de \(g\) según convenga. Es un resultado de ZF, sin axioma de elección, por lo que vale para cualquier par de conjuntos.

Sea \(A=\mathbb{N}\) y \(B=\mathbb{Z}\). La inclusión \(f(n)=n\) es una inyección de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{Z}\), y \(g(z)=2z\) si \(z\ge 0\), \(g(z)=-2z-1\) si \(z<0\), es una inyección de \(\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{N}\). Por el teorema, existe una biyección entre \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{Z}\), así que \(|\mathbb{Z}|=\aleph_0\).

Un error común es creer que las dos inyecciones deben ser inversas entre sí; no es necesario, y la biyección se obtiene combinándolas por cadenas. Otro error es pensar que basta una sola inyección: el teorema exige inyecciones en ambos sentidos.

Para pensar

¿Por qué no hace falta que \(f\) y \(g\) sean inversas entre sí?

Porque la biyección se obtiene combinándolas por cadenas; basta con que cada una sea inyectiva.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué hipótesis exige el teorema de Schröder-Bernstein?
  2. ¿Qué concluye el teorema de Schröder-Bernstein?
  3. Si existe una inyección de \(A\) en \(B\), ¿qué relación de cardinales se obtiene?
  4. ¿Qué significa que \(f\colon A\to B\) sea inyectiva?
  5. ¿Cuál de estas funciones es una biyección de \(\mathbb{N}\) sobre los números pares?
  6. Si \(|A|\le|B|\) y \(|B|\le|A|\), ¿qué se concluye?
  7. Sea \(g\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{N}\) dada por \(g(z)=2z\) si \(z\ge 0\) y \(g(z)=-2z-1\) si \(z<0\). ¿Cuánto vale \(g(-2)\)?
  8. Si \(|A|=5\) y \(|B|=4\), ¿puede existir una inyección de \(A\) en \(B\)?
  9. Si \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}\) y existe una inyección de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{N}\), ¿cuál es la conclusión?
  10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.