Operaciones y familias · Definición

Unión de familias

teoría de conjuntosoperaciones y familias

Antes de empezar necesitas conocer

Extiende la unión de dos conjuntos a una colección cualquiera de conjuntos, indexada o no.

Definición

La unión de una familia \(\{A_i\}_{i \in I}\) es el conjunto de los objetos que pertenecen a al menos uno de los \(A_i\).

\[\bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid \exists\, i \in I,\ x \in A_i\}\]

Si \(I = \{1,2\}\), la unión es \(A_1 \cup A_2\): la definición general extiende la unión de dos conjuntos a cualquier índice, incluso infinito. Si \(I = \varnothing\), la unión es vacía, porque no hay ningún \(A_i\) al que pertenecer.

Ejemplo guía: si \(A_1 = \{1,2\}\), \(A_2 = \{2,3\}\) y \(A_3 = \{3,4\}\), entonces \(\bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1,2,3,4\}\). Cada elemento de la unión pertenece al menos a uno de los \(A_i\), y no hace falta que pertenezca a todos.

Errores típicos: exigir pertenecer a todos los conjuntos, lo que describe la intersección \(\bigcap_i A_i\), o olvidar el caso del índice vacío. Otra confusión frecuente es tomar la unión de una familia como la familia misma: \(\bigcup \mathcal{F}\) es un conjunto de elementos, no un conjunto de conjuntos.

Para pensar

Para pensar: ¿por qué la unión sobre el índice vacío es el conjunto vacío?

Porque ningún objeto puede pertenecer a un \(A_i\) si no hay índices, así que la unión no tiene elementos.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa \(x \in \bigcup_{i \in I} A_i\)?
  2. Sea \(A_1 = \{1,2\}\), \(A_2 = \{2,3\}\) y \(A_3 = \{3,4\}\). ¿Cuál es \(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\)?
  3. Con los mismos \(A_1, A_2, A_3\) del ejercicio anterior, ¿cuál es \(\bigcap_{i=1}^{3} A_i\)?
  4. ¿Qué vale \(\bigcup_{i \in \varnothing} A_i\) para una familia indexada por el conjunto vacío?
  5. Para cualquier familia \(\{A_i\}_{i \in I}\), ¿cuál afirmación es verdadera?
  6. Si \(I = \{1, 2\}\), ¿qué conjunto es \(\bigcup_{i \in I} A_i\)?
  7. Sea \(A_n = \{n, n+1\}\) para \(n \in \{1,2,3\}\). ¿Cuántos elementos tiene \(\bigcup_{n} A_n\)?
  8. Sea \(A_n = \{n\}\) para \(n \in \{1, 2, \dots, 10\}\). ¿Cuál es \(\bigcup_{n} A_n\)?
  9. Sea \(\mathcal{F} = \{\{1,2\}, \{2,3\}\}\), una familia de dos conjuntos. ¿Cuál es \(\bigcup \mathcal{F}\)?
  10. Sea \(A_k = \{k, 2k\}\) para \(k \in \{1,2,3\}\). ¿Cuál es \(\bigcup_{k} A_k\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.