Cardinales · Definición

Equipotencia

teoría de conjuntoscardinales

Antes de empezar necesitas conocer

La equipotencia compara conjuntos por su tamaño sin necesidad de contarlos. Es la herramienta que permite comparar también conjuntos infinitos.

Definición

Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son equipotentes si existe una biyección \(f\colon A\to B\). Se escribe \(A\sim B\).

\[A\sim B \iff \exists\, f\colon A\to B\ \text{biyectiva}\]

Equipotencia es una relación de equivalencia: es reflexiva, porque la identidad es una biyección; simétrica, porque la inversa de una biyección es biyección; y transitiva, porque la composición de biyecciones es biyección. Por eso reparte los conjuntos en clases, y cada clase agrupa conjuntos del mismo tamaño.

Ejemplos: \(\{a,b,c\}\sim\{1,2,3\}\) mediante \(a\mapsto1,\ b\mapsto2,\ c\mapsto3\). Entre infinitos, \(\mathbb{N}\sim\{0,2,4,\dots\}\) mediante \(n\mapsto 2n\), aunque los pares sean una parte propia de \(\mathbb{N}\). Y \(\mathbb{N}\sim\mathbb{Z}\) con la biyección \(0\mapsto0,\ 1\mapsto1,\ 2\mapsto-1,\ 3\mapsto2,\dots\), que alterna signos.

Errores típicos: confundir equipotencia con igualdad, pues \(\{1,2\}\) y \(\{a,b\}\) son equipotentes sin ser iguales. Y creer que una inyección entre dos conjuntos basta: \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\) es inyectiva, pero \(\mathbb{N}\not\sim\mathbb{R}\).

Para pensar

¿Es \(\mathbb{N}\) equipotente a \(\mathbb{Q}\)?

Sí: los racionales son numerables, así que hay una biyección con \(\mathbb{N}\).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué se necesita para que dos conjuntos \(A\) y \(B\) sean equipotentes?
  2. ¿Es \(\{a,b,c\}\) equipotente a \(\{1,2,3\}\)?
  3. ¿Cuál de estas propiedades cumple la equipotencia?
  4. Sea \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\). ¿Es \(\mathbb{N}\) equipotente a \(\{0,2,4,\dots\}\)?
  5. ¿Qué afirmación sobre \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{Z}\) es correcta?
  6. ¿Cómo se escribe que los conjuntos \(A\) y \(B\) son equipotentes?
  7. ¿Es \(\{1,2\}\) equipotente a \(\{1,2,3\}\)?
  8. ¿Qué se obtiene al componer dos biyecciones \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\)?
  9. La inclusión de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{R}\) es una función inyectiva. ¿Por qué no prueba que \(\mathbb{N}\sim\mathbb{R}\)?
  10. Sea \(f\colon A\to B\) biyectiva, con \(A\) finito. ¿Por qué \(B\) también es finito?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.