Cardinal

Con el axioma de elección, todo conjunto puede bien ordenarse, así que todo conjunto tiene cardinal. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y solo si son equipotentes, y \(|A| \le |B|\) cuando existe una inyección de \(A\) en \(B\). Los cardinales finitos son los números naturales, y el primer cardinal infinito es \(\aleph_0\).

Sea \(A=\{a,b,c\}\) y \(B=\{1,2,3\}\). La función \(f(a)=1\), \(f(b)=2\), \(f(c)=3\) es biyectiva, así que \(|A|=|B|=3\). En el caso infinito, la función \(n\mapsto 2n\) es una biyección entre \(\mathbb{N}\) y los números pares, así que los pares tienen el mismo cardinal que \(\mathbb{N}\), es decir, \(\aleph_0\).

Un error frecuente es creer que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño. Cantor probó que \(|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|\) y que \(|A|<|\mathcal{P}(A)|\) para todo conjunto \(A\), así que hay infinitos de tamaños distintos. Otro error es pensar que el cardinal depende del orden de los elementos: depende solo de cuántos elementos hay.