Relaciones y funciones · Definición

Clase de equivalencia

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una clase de equivalencia reúne, en un solo bloque, a los elementos que una relación de equivalencia considera iguales.

Definición

Dada una relación de equivalencia \(R\) sobre \(A\) y un elemento \(a\in A\), la clase de equivalencia \([a]\) es el conjunto de todos los \(x\in A\) con \(x\,R\,a\).

\[[a]=\{x\in A : x\,R\,a\}\]

Las clases de equivalencia forman una partición de \(A\): cada elemento pertenece a alguna clase, y dos clases son iguales o disjuntas. Además, \(x\in[a]\) si y solo si \([x]=[a]\). Por eso el conjunto de clases \(A/R\), llamado conjunto cociente, cuenta las formas de ser igual sin repetirlas.

Ejemplo guía: sobre \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), la relación «tienen la misma paridad» tiene dos clases, \([1]=\{1,3,5\}\) y \([2]=\{2,4,6\}\). Así \(A/R\) tiene 2 elementos, aunque \(A\) tenga 6.

Error típico: leer \([a]\) como si fuera el elemento \(a\). La clase es un subconjunto de \(A\), y una misma clase puede nombrarse con distintos representantes: \([1]=[3]=[5]\) en el ejemplo anterior.

Para pensar

¿Pueden dos clases de equivalencia distintas tener elementos en común?

No: dos clases son iguales o disjuntas.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué es la clase de equivalencia \([a]\)?
  2. ¿Qué es el conjunto cociente \(A/R\)?
  3. ¿Pertenece \(a\) a su propia clase \([a]\)?
  4. Sobre \(\{1,2,3,4,5,6\}\) con la relación «misma paridad», ¿cuántas clases de equivalencia hay?
  5. Si \(x\in[a]\), ¿qué se cumple?
  6. Sobre \(\mathbb{Z}\), sea \(a\,R\,b\) si \(a-b\) es múltiplo de 3. ¿Qué es \([0]\)?
  7. Sobre \(\mathbb{Z}\), sea \(a\,R\,b\) si \(a\) y \(b\) tienen el mismo resto al dividir por 3. ¿Cuántas clases de equivalencia hay?
  8. Sea \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(R\) una relación de equivalencia con clases \(\{1,2\}\) y \(\{3,4\}\). ¿Cuál es \([2]\)?
  9. Sobre \(A=\{a,b,c\}\), la relación de equivalencia es la igualdad. ¿Cuántas clases hay?
  10. Si \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), ¿qué se cumple?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.