Ordinales y axiomas · Definición

Lema de Zorn

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

El lema de Zorn permite demostrar la existencia de objetos maximales en situaciones donde una construcción explícita resulta imposible. Se usa con frecuencia en álgebra y análisis funcional.

Definición

El lema de Zorn es un principio equivalente al axioma de elección que afirma que todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena tiene una cota superior contiene un elemento maximal.

\[\\forall P\\neq\\varnothing\\,\\Big[\\Big(\\forall C\\subseteq P\\,\\big(\\text{cadena}(C)\\Rightarrow\\\\\exists u\\in P\\,\\forall c\\in C\\,c\\le u\\big)\\Big)\\Rightarrow\\\\\exists m\\in P\\ \\text{maximal}\\Big]\]

Si \((P,\le)\) es un conjunto parcialmente ordenado no vacío y toda cadena en \(P\) tiene cota superior en \(P\), entonces existe un elemento maximal \(m\in P\), es decir, ningún \(x\in P\) cumple \(m<x\). Una cadena es un subconjunto totalmente ordenado de \(P\), y la cadena vacía se considera acotada por cualquier elemento de \(P\).

Sea \(P\) la familia de subconjuntos finitos de \(\mathbb{N}\) ordenada por inclusión. Toda cadena finita tiene un máximo, pero las cadenas infinitas, como \(\{\{1,\dots,n\}: n\in\mathbb{N}\}\), tienen cota superior \(\mathbb{N}\), que no pertenece a \(P\). Por tanto la hipótesis falla y el lema no garantiza un maximal.

Un error típico es confundir maximal con máximo: que \(m\) sea maximal no implica que \(x\le m\) para todo \(x\in P\). Por ejemplo, en \(\{a,b\}\) con orden discreto, ambos elementos son maximales y ninguno es máximo.

Para pensar

¿Por qué importan las cadenas infinitas para aplicar el lema?

Porque la hipótesis exige cota superior para toda cadena, también para las infinitas.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué afirma el lema de Zorn?
  2. ¿Con qué axioma es equivalente el lema de Zorn?
  3. ¿Qué es una cadena en un conjunto parcialmente ordenado?
  4. ¿Qué significa que \(m\) sea un elemento maximal de \(P\)?
  5. ¿Qué condición debe cumplir cada cadena para aplicar el lema de Zorn?
  6. En \(\mathcal{P}(\{1,2\})\) con inclusión, ¿cuántos elementos maximales hay?
  7. Sea \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) ordenado por inclusión. ¿Cuál es una cadena máxima de \(P\)?
  8. Sea \(P=\{1,2,3,\dots\}\) con el orden de divisibilidad. ¿Tiene \(P\) un elemento maximal?
  9. ¿Cuál es la cota superior de la cadena \(\{\{1,\dots,n\}: n\in\mathbb{N}\}\) en los finitos de \(\mathbb{N}\)?
  10. Sea \(P\) la familia de funciones parciales inyectivas de \(A\) en \(A\) ordenadas por extensión, con \(A\) infinito. Si una cadena \(C\) tiene unión \(f=\bigcup C\), ¿qué conclusión se obtiene al aplicar el lema de Zorn?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.