Ordinales y axiomas · Definición
Inducción transfinita
Cuando los índices dejan de ser números naturales, la inducción matemática ya no alcanza para cubrir todo el proceso. Este método permite demostrar propiedades y apoyar definiciones sobre cualquier buen orden, en especial sobre los ordinales.
Definición
Principio que permite demostrar que una propiedad vale para todos los números ordinales \(\mathrm{On}\), probando que, si vale para todos los anteriores a un ordinal \(\alpha\), también vale para él.
La versión general no separa casos: basta probar que \(P(\alpha)\) se sigue de \(P(\beta)\) para todo \(\beta<\alpha\). Su validez viene del buen orden de los ordinales, porque si existiera un contraejemplo, el menor de ellos produciría una contradicción.
Para probar que \(0+\alpha=\alpha\) para todo ordinal se puede organizar la prueba en tres casos: \(0+0=0\); en el sucesor, \(0+(\beta+1)=(0+\beta)+1=\beta+1\) por hipótesis; y en el límite, \(0+\lambda=\sup_{\beta<\lambda}(0+\beta)=\sup_{\beta<\lambda}\beta=\lambda\).
El error más frecuente es tratar un límite como si fuera sucesor, buscando un predecesor inmediato \(\lambda-1\) que no existe. Tampoco basta con revisar solo el ordinal inmediatamente anterior, porque el paso general necesita todos los \(\beta<\alpha\).
Para pensar
¿Por qué \(P(0)\) se sigue sin una prueba aparte?
Porque para \(\alpha=0\) no existe ningún \(\beta<0\), así que la condición es vacía.
Ejercicios 10
- ¿Qué exige el paso general de la inducción transfinita?
- Si \(P(\alpha)\) se sigue siempre que \(P(\beta)\) valga para todo \(\beta<\alpha\), ¿qué se concluye?
- ¿Cómo se trata el caso de sucesor \(\alpha=\beta+1\) en la versión general?
- ¿Cuál de estos ordinales es un ordinal límite?
- ¿Sobre qué tipo de conjuntos se puede aplicar la inducción transfinita?
- Sea \(P(\alpha): \alpha\notin\alpha\). En el paso general se supone \(\alpha\in\alpha\). ¿Qué se obtiene?
- Si \(0+\alpha=\alpha\) para todo ordinal \(\alpha\), ¿cuánto vale \(0+(\omega+1)\)?
- Si \(0+\beta=\beta\) para todo \(\beta<\lambda\) y \(\lambda\) es un ordinal límite, ¿cuánto vale \(0+\lambda\)?
- ¿Es válido concluir que \(P\) vale para todo ordinal si \(P(0)\) se cumple y \(P(\beta)\) implica \(P(\beta+1)\) para todo \(\beta\)? Justifica con un contraejemplo si no lo es.
- Sea \(P(\alpha): 1+\alpha=\alpha\). Evalúa \(P(0)\), \(P(1)\) y \(P(\omega)\). ¿Qué se puede concluir?
Referencias
- Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
- Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.