Ordinales y axiomas · Definición

Construcción de los naturales

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

Antes de hablar de sumas o productos, conviene saber de dónde salen los números. La teoría de conjuntos permite definirlos usando solo la pertenencia.

Definición

Los números naturales son un conjunto \(\mathbb{N}\) construido dentro de la teoría de conjuntos mediante ordinales finitos, donde cada natural es el conjunto de todos los anteriores a él.

\[n^+ = n \cup \{n\}\]

Se define \(0 = \varnothing\) y, para cada conjunto \(n\), su sucesor \(n^+ = n \cup \{n\}\). Así \(1 = \{0\}\), \(2 = \{0,1\}\), y en general \(n\) tiene exactamente \(n\) elementos. Por el axioma del infinito existe un conjunto que contiene a \(0\) y es cerrado bajo sucesor, y \(\mathbb{N}\) es la intersección de todos esos conjuntos inductivos. Esto da el principio de inducción: todo subconjunto de \(\mathbb{N}\) que contenga a \(0\) y sea cerrado bajo sucesor es todo \(\mathbb{N}\).

Tomemos \(3 = \{0,1,2\}\). Su sucesor es \(3^+ = \{0,1,2,3\}\), que tiene cuatro elementos. Cada paso añade exactamente un elemento nuevo, por lo que el conteo queda codificado en la pertenencia misma.

Un error típico es pensar que \(\mathbb{N}\) se toma como dado sin construcción, o confundir \(n\) con el símbolo \(\{n\}\). Recuerda que \(1 = \{0\}\) y no \(\{1\}\), y que \(n\) contiene a todos los naturales menores que él.

Para pensar

¿Qué elementos tiene \(3\) y por qué \(3\notin 3\)?

\(3=\{0,1,2\}\) tiene tres elementos, todos menores que 3; no contiene a 3 porque sus elementos son estrictamente menores.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el conjunto \(1\) en la construcción de von Neumann?
  2. ¿Qué conjunto es \(0\) en esta construcción?
  3. ¿Cuántos elementos tiene el natural \(4\)?
  4. ¿Cuál es el sucesor de \(2\)?
  5. Calcula \(2^+\) usando la definición de sucesor.
  6. ¿Cuántos elementos tiene \(3^+\)?
  7. Si \(n=\{0,1\}\), ¿cuál es \(n^+\)?
  8. ¿Cuál es el conjunto \(\mathbb{N}\cap\{0,1,2\}\) de naturales menores que \(3\)?
  9. Sea \(A=\{x\in\mathbb{N}: x\ne 0\}\). ¿Qué afirmación muestra correctamente que \(A\) no es inductivo?
  10. ¿Qué afirmación da un contraejemplo de la idea de que \(n^+=n\) para todo natural \(n\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.