Cardinales · Definición

Conjunto finito

teoría de conjuntoscardinales

Antes de empezar necesitas conocer

La finitud separa los conjuntos que se pueden contar exactamente de los que no se agotan al contarlos. Es la base para hablar de cardinales finitos.

Definición

Un conjunto \(A\) es finito si existe una biyección entre \(A\) y \(\{1,\dots,n\}\) para algún \(n\in\mathbb{N}\), donde \(\{1,\dots,0\}=\varnothing\).

\[A\sim\{1,\dots,n\}, \quad |A|=n\]

Un conjunto es finito si puede ponerse en correspondencia uno a uno con \(\{1,\dots,n\}\), y ese \(n\) es único: se llama cardinal de \(A\) y se escribe \(|A|\). El conjunto vacío es finito con \(|\varnothing|=0\), y todo conjunto con \(n\) elementos tiene \(2^n\) subconjuntos.

Propiedades básicas: todo subconjunto de un conjunto finito es finito, y si \(A\) y \(B\) son finitos y disjuntos, \(|A\cup B|=|A|+|B|\). Si \(f\colon A\to B\) es inyectiva con \(B\) finito, entonces \(A\) es finito y \(|A|\le|B|\), que es el principio del palomar.

Ejemplo guía: \(\{1,2,\dots,100\}\) es finito con 100 elementos, mientras que \(\mathbb{N}\) no lo es, porque \(n\mapsto n+1\) lleva \(\mathbb{N}\) sobre el subconjunto propio \(\mathbb{N}\setminus\{1\}\). Error típico: pensar que un conjunto es infinito solo por ser grande; lo que cuenta es poder ponerlo en biyección con algún \(\{1,\dots,n\}\).

Para pensar

¿Por qué \(\{1,2,\dots,100\}\) es finito pero \(\mathbb{N}\) no?

Porque \(\{1,\dots,100\}\) tiene 100 elementos y \(\mathbb{N}\) es biyectable con un subconjunto propio de sí mismo.

Ejercicios 10

  1. ¿Cómo se define que un conjunto \(A\) es finito?
  2. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto vacío \(\varnothing\)?
  3. Sea \(A=\{a,b,c\}\). ¿Cuántos subconjuntos tiene \(A\)?
  4. Si \(A\sim\{1,\dots,n\}\) y \(A\sim\{1,\dots,m\}\), ¿qué se puede afirmar?
  5. ¿Es todo subconjunto de un conjunto finito también finito?
  6. ¿Cuál de estos conjuntos es finito?
  7. Si \(A\) y \(B\) son finitos y disjuntos, ¿cuántos elementos tiene \(A\cup B\)?
  8. Si \(f\colon A\to B\) es inyectiva y \(B\) es finito, ¿qué se deduce de \(A\)?
  9. ¿Por qué \(\mathbb{N}\) no es finito?
  10. Si \(1\le k\le n\), ¿cuántos elementos tiene \(\{1,\dots,n\}\setminus\{k\}\)?

Después de esto

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.