Operaciones y familias · Definición

Complemento relativo

teoría de conjuntosoperaciones y familias

Antes de empezar necesitas conocer

El complemento relativo describe lo que queda de A cuando se le quitan los elementos de B.

Definición

El complemento relativo de \(B\) en \(A\) es el conjunto \(A \setminus B\) formado por los elementos de \(A\) que no pertenecen a \(B\).

\[A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\}\]

Como \(A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\}\), el conjunto siempre está contenido en \(A\): \(A \setminus B \subseteq A\). Si \(B \subseteq A\), los conjuntos \(B\) y \(A \setminus B\) son disjuntos y su unión es \(A\), así que \(|A| = |B| + |A \setminus B|\) cuando \(A\) es finito. Si \(B\) no está contenido en \(A\), la diferencia sigue definida y equivale a \(A \setminus (A \cap B)\).

Ejemplo guía: sea \(A = \{1,2,3,4,5,6\}\) y \(B = \{2,4,6\}\). Entonces \(A \setminus B = \{1,3,5\}\). El orden importa: \(B \setminus A = \varnothing\), mientras que \(A \setminus B = \{1,3,5\}\).

Error típico: escribir \(A \setminus B = B \setminus A\) como si la operación fuera simétrica. La diferencia de conjuntos no es conmutativa; la diferencia simétrica \(A \,\triangle\, B\) sí lo es. Otro error es olvidar que \(A \setminus B\) conserva solo elementos de \(A\), aunque \(B\) tenga elementos fuera de \(A\).

Para pensar

¿Es \(A \setminus B\) siempre igual a \(B \setminus A\)?

No. Con \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{2,3\}\), \(A \setminus B=\{1\}\) y \(B \setminus A=\{3\}\).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa \(x \in A \setminus B\)?
  2. Si \(A = \{a,b,c\}\) y \(B = \{b\}\), ¿cuál es \(A \setminus B\)?
  3. ¿Cuál es \(A \setminus A\)?
  4. ¿Qué relación cumple \(A \setminus B\) con \(A\)?
  5. Sea \(A = \{1,\ldots,10\}\) y \(B = \{2,4,6,8,10,12\}\). ¿Cuál es \(A \setminus B\)?
  6. ¿Cuál afirmación es verdadera para cualesquiera conjuntos \(A\) y \(B\)?
  7. ¿Cuántos elementos tiene \(\{2,4\} \setminus A\), si \(A = \{1,2,3,4\}\)?
  8. Si \(A \setminus B = \varnothing\), ¿qué se puede afirmar?
  9. Sea \(A = \{1,\ldots,20\}\), \(B_1 = A \setminus \{x : x \text{ es par}\}\) y \(B_2 = A \setminus B_1\). ¿Cuál es \(B_2\)?
  10. Sea \(A = \{1,\ldots,8\}\) y \(B = \{x \in A : x > 5\}\). ¿Cuál es \(|A \setminus B|\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.