Cardinales · Definición

Conjunto infinito

teoría de conjuntoscardinales

Antes de empezar necesitas conocer

Lo infinito es lo que nunca se agota al contar. Estudiar estos conjuntos revela que hay distintos tamaños de infinito.

Definición

Un conjunto \(A\) es infinito si no es finito, es decir, si no existe ninguna biyección entre \(A\) y \(\{1,\dots,n\}\) para ningún \(n\in\mathbb{N}\).

\[A\not\sim\{1,\dots,n\}\ \ \forall n\in\mathbb{N}\]

Ejemplos: \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) y \(\mathbb{R}\) son infinitos. Para \(\mathbb{N}\) sirve la función \(f(n)=n+1\): es inyectiva y no suprayectiva, porque nunca alcanza el \(0\). Un conjunto finito no admite una inyección en un subconjunto propio de sí mismo, así que \(\mathbb{N}\) no es finito.

Propiedades: todo subconjunto de un conjunto finito es finito. Dicho de otro modo, si \(A\subseteq B\) y \(A\) es infinito, entonces \(B\) es infinito. Además, la unión de un conjunto infinito con uno finito sigue siendo infinita.

Errores típicos: pensar que infinito equivale a «muy grande». El conjunto \(\{x\in\mathbb{N}: x\le 10^{100}\}\) es finito, aunque sea enorme. Tampoco todos los infinitos son iguales: \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{R}\) no pueden ponerse en biyección, como muestra el argumento diagonal de Cantor.

Para pensar

¿Por qué no basta con que un conjunto sea grande para ser infinito?

Porque infinito significa no finito: no hay biyección con ningún \(\{1,\dots,n\}\), sin importar su tamaño.

Ejercicios 10

  1. ¿Cómo se define un conjunto infinito?
  2. ¿Cuál de estos conjuntos es infinito?
  3. Si \(A\subseteq B\) y \(A\) es infinito, ¿qué se concluye de \(B\)?
  4. ¿Puede un conjunto infinito ser subconjunto de uno finito?
  5. ¿Es \([0,1]\) un conjunto finito?
  6. Si \(A\) es infinito, ¿existe una biyección entre \(A\) y \(\{1,\dots,n\}\) para algún \(n\in\mathbb{N}\)?
  7. Sean \(A\) finito y \(B\) infinito. ¿Qué se puede decir de \(A\cup B\)?
  8. ¿Es infinito el conjunto de los números naturales pares?
  9. Sea \(f(n)=n+1\) de \(\mathbb{N}\) en \(\mathbb{N}\). ¿Por qué sirve para probar que \(\mathbb{N}\) es infinito?
  10. Sea \(A\) infinito y \(a\in A\). ¿Es \(A\setminus\{a\}\) infinito?

Después de esto

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.