Relaciones y funciones · Definición

Relación de equivalencia

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una relación de equivalencia formaliza la idea de «ser iguales en algún sentido» entre elementos de un mismo conjunto.

Definición

Una relación binaria \(R\) sobre \(A\) que es reflexiva, simétrica y transitiva. Agrupa los elementos de \(A\) que se comportan igual respecto de una propiedad.

\[\forall a\in A\,(a\,R\,a)\ \wedge\ \forall a,b\in A\,(aRb \Rightarrow bRa)\ \wedge\\ \forall a,b,c\in A\,(aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc)\]

Sea \(R\) una relación sobre \(A\). Es reflexiva si \(a\,R\,a\) para todo \(a\in A\), simétrica si \(a\,R\,b\) implica \(b\,R\,a\), y transitiva si \(a\,R\,b\) y \(b\,R\,c\) implican \(a\,R\,c\). Las tres propiedades deben cumplirse a la vez: basta que falle una para que \(R\) no sea de equivalencia.

Ejemplo guía: sobre \(A=\{1,2,3,4\}\), la relación «tienen la misma paridad» es de equivalencia. Es reflexiva porque cada número tiene la misma paridad que sí mismo, simétrica porque la igualdad de paridad es mutua, y transitiva porque si \(a\) y \(b\) comparten paridad, y \(b\) y \(c\) también, entonces \(a\) y \(c\) la comparten. En cambio, \(\le\) no lo es: es reflexiva y transitiva, pero no simétrica, pues \(1\le 2\) mientras que \(2\not\le 1\).

Error típico: creer que la simetría y la transitividad bastan y que la reflexividad se deduce sola. Si \(a\,R\,b\), la simetría da \(b\,R\,a\) y la transitividad da \(a\,R\,a\), pero solo para los \(a\) que aparecen como primer elemento de algún par. Por eso la reflexividad debe comprobarse por separado.

Para pensar

Para pensar: ¿por qué la simetría y la transitividad no bastan para garantizar la reflexividad?

Porque solo se obtiene \(a\,R\,a\) para los \(a\) que aparecen como primer elemento de algún par; un elemento aislado puede no relacionarse consigo mismo.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué tres propiedades debe cumplir una relación \(R\) sobre \(A\) para ser de equivalencia?
  2. ¿Qué significa que \(R\) sea simétrica?
  3. ¿Qué exige la reflexividad?
  4. ¿Qué exige la transitividad?
  5. ¿Es la igualdad \(=\) sobre un conjunto \(A\) una relación de equivalencia?
  6. Sea \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). ¿Es \(R\) de equivalencia?
  7. Sobre \(\mathbb{Z}\), sea \(a\,R\,b\) si \(a-b\) es par. ¿Es \(R\) de equivalencia?
  8. Sobre \(\mathbb{Z}\), sea \(a\,R\,b\) si \(a\le b\). ¿Es \(R\) de equivalencia?
  9. Sobre \(A=\{a,b,c\}\), ¿cuál de estas relaciones es de equivalencia?
  10. ¿Toda relación simétrica y transitiva sobre \(A\) es de equivalencia?

Después de esto

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.