Cardinales · Definición

Conjunto numerable

teoría de conjuntoscardinales

Antes de empezar necesitas conocer

Numerable es la forma más básica de tamaño infinito: sus elementos pueden recorrerse uno a uno con los naturales.

Definición

Un conjunto es numerable si es finito o equipotente a \(\mathbb{N}\), es decir, si sus elementos pueden listarse en una sucesión.

\[A \text{ numerable} \iff A \text{ finito} \lor A\sim\mathbb{N}\]

La definición compara conjuntos infinitos con \(\mathbb{N}\): si \(A\sim\mathbb{N}\), se dice que \(A\) es numerable infinito y puede escribirse como \(\{a_0,a_1,a_2,\dots\}\), con todos sus términos distintos.

Ejemplos: \(\mathbb{Z}\) es numerable mediante \(n\mapsto(-1)^n\lceil n/2\rceil\), y \(\mathbb{Q}\) también lo es, aunque sea denso en \(\mathbb{R}\). Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable, y el producto cartesiano de dos numerables también lo es.

Errores típicos: creer que todo conjunto infinito es no numerable, cuando \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{Z}\) son infinitos y numerables; y pensar que la densidad impide enumerar, como ocurre con \(\mathbb{Q}\).

Para pensar

¿Por qué \(\mathbb{Q}\) es numerable aunque sea denso en \(\mathbb{R}\)?

Porque sus elementos pueden listarse en una sucesión; la densidad no impide enumerar.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa que un conjunto \(A\) sea numerable?
  2. ¿Cuál de estos conjuntos es numerable?
  3. ¿Cómo se llama un conjunto equipotente a \(\mathbb{N}\)?
  4. ¿Qué es una enumeración de un conjunto numerable infinito \(A\)?
  5. Un conjunto finito, ¿es numerable?
  6. ¿Cuál de estas funciones es una biyección de \(\mathbb{N}\) sobre \(\mathbb{Z}\)?
  7. ¿Es \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) numerable?
  8. ¿Es \(\mathbb{Q}\) numerable?
  9. ¿Qué afirmación sobre subconjuntos de conjuntos numerables es correcta?
  10. ¿Cuál de estas funciones es una biyección de \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) sobre \(\mathbb{N}\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.