Ordinales y axiomas · Definición

Buen orden

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

Los números naturales se pueden recorrer desde el primero hacia adelante sin retroceder nunca. El buen orden formaliza esa intuición y la extiende a cualquier conjunto.

Definición

Un conjunto \(A\) está bien ordenado por \(<\) si \(<\) es un orden total en \(A\) y todo subconjunto no vacío de \(A\) tiene un elemento mínimo.

\[\forall S\subseteq A(S\ne\varnothing\Rightarrow\exists m\in S\forall s\in S\,m\le s)\]

Todo conjunto bien ordenado es también totalmente ordenado, así que cualquier par de elementos es comparable. La propiedad clave es que cada subconjunto no vacío tiene mínimo, lo que impide la existencia de una sucesión infinita estrictamente decreciente. Por eso \(\mathbb{N}\) con el orden usual está bien ordenado, mientras que \(\mathbb{Z}\) no lo está.

Consideremos \(A=\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\}\) con el orden usual de \(\mathbb{R}\). El conjunto \(A\) no tiene mínimo, porque para cada \(\frac{1}{n}\) existe \(\frac{1}{n+1}\) más pequeño. Con el orden inverso \(\ge\), en cambio, su primer elemento es \(1\) y el conjunto sí está bien ordenado.

Un error común es creer que todo orden total es un buen orden. El intervalo \((0,1)\) con el orden usual es totalmente ordenado, pero no tiene mínimo, así que no está bien ordenado. Tampoco basta con que un conjunto tenga máximo: el conjunto \(\{\dots,-2,-1,0\}\) tiene máximo \(0\) y, sin embargo, no tiene mínimo.

Para pensar

¿Por qué \(\mathbb{N}\) está bien ordenado y \(\mathbb{Z}\) no?

Porque todo subconjunto no vacío de \(\mathbb{N}\) tiene mínimo, mientras que los negativos de \(\mathbb{Z}\) no lo tienen.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe un conjunto bien ordenado?
  2. ¿Está \(\mathbb{Z}\) bien ordenado por el orden usual?
  3. ¿Cuál de estos conjuntos está bien ordenado por el orden usual de \(\mathbb{R}\)?
  4. Si \(A\) está bien ordenado y \(B\subseteq A\) es no vacío, ¿qué se cumple?
  5. Sea \(A=\{2,5,7\}\) con el orden usual. ¿Cuál es su mínimo y por qué \(A\) está bien ordenado?
  6. ¿Es el conjunto \(\{x\in\mathbb{Q} : x>0\}\) bien ordenado por el orden usual?
  7. Sea \(B=\{n\in\mathbb{N} : n^2>20\}\) con el orden usual. ¿Cuál es su mínimo?
  8. ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb{Z}\) tiene mínimo?
  9. Sea \(A\) un conjunto bien ordenado y \(f:A\to A\) tal que \(f(a)<a\) para todo \(a\in A\). ¿Qué se concluye?
  10. ¿Está \(\mathbb{N}\) bien ordenado por el orden inverso \(\ge\)? Elige la afirmación correcta.

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.