Ordinales y axiomas · Definición

Construcción de los reales

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

Tras construir \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Q} \) desde \( \mathbb{N} \), falta un cuerpo donde toda sucesión de Cauchy tenga límite. Las cortaduras de Dedekind resuelven ese vacío de \( \mathbb{Q} \).

Definición

Los números reales \( \mathbb{R} \) forman un cuerpo ordenado completo que extiende a \( \mathbb{Q} \), y se construyen a partir de \( \mathbb{Q} \) mediante cortaduras de Dedekind.

\[\mathbb{R}=\{A\subseteq\mathbb{Q}: A \text{ es cortadura}\}\]

Una cortadura de Dedekind es un subconjunto \( A\subseteq\mathbb{Q} \) no vacío, distinto de \( \mathbb{Q} \), cerrado hacia abajo y sin máximo. Sobre estas cortaduras se definen la suma y el producto, y el orden por inclusión, que hacen de \( \mathbb{R} \) un cuerpo ordenado completo.

Tomemos \( A=\{q\in\mathbb{Q}: q<0 \text{ o } q^2<2\} \). Esta cortadura representa \( \sqrt{2} \), que no es racional, de modo que \( \mathbb{R} \) rellena el hueco que \( \mathbb{Q} \) dejaba.

Un error típico es confundir la cortadura con su extremo: la cortadura \( A \) no contiene a \( \sqrt{2} \) como elemento, pues \( \sqrt{2}\notin\mathbb{Q} \). La cortadura es el conjunto de racionales que están por debajo del número.

Para pensar

Para pensar: ¿por qué \( \sqrt{2} \) no tiene representante racional?

Porque ningún racional tiene cuadrado igual a \( 2 \), así que \( \mathbb{Q} \) tiene un hueco ahí.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es una cortadura de Dedekind?
  2. ¿Qué propiedad debe cumplir un conjunto \( A \) para ser cortadura?
  3. ¿Qué número real representa la cortadura de los racionales negativos o con cuadrado menor que \( 4 \)?
  4. ¿Qué conjunto de racionales define la cortadura de \( \sqrt{3} \)?
  5. Una cortadura de Dedekind \( A \) debe ser distinta de \( \mathbb{Q} \). ¿Por qué?
  6. Sea \( A=\{q\in\mathbb{Q}: q<0 \text{ o } q^2<5\} \). ¿Qué real representa \( A \)?
  7. ¿Cuál es el supremo en \( \mathbb{R} \) de la cortadura \( A=\{q\in\mathbb{Q}: q<1/2\} \)?
  8. Si \( A \) y \( B \) son cortaduras, ¿cuál es la cortadura de \( A+B \) en términos de \( A \) y \( B \)?
  9. ¿Por qué \( \mathbb{Q} \) no es completo mientras que \( \mathbb{R} \) sí?
  10. Sean \( A=\{q: q<0 \text{ o } q^2<2\} \) y \( B=\{q: q<0 \text{ o } q^2<2\} \). ¿Cuál es \( A\cdot B \) como número real, en el caso positivo?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.