Operaciones y familias · Definición
Intersección de familias
Antes de empezar necesitas conocer
La intersección de familias generaliza la intersección de dos conjuntos a cualquier número de conjuntos a la vez.
Definición
La intersección de una familia no vacía \(\mathcal{F}\) de conjuntos es el conjunto \(\bigcap \mathcal{F}\) formado por los objetos que pertenecen a todos los miembros de la familia.
Si la familia es \(\mathcal{F} = \{A_i : i \in I\}\), la intersección \(\bigcap_{i \in I} A_i\) reúne los \(x\) que están en cada \(A_i\). Para una familia de dos conjuntos coincide con \(A \cap B\). Como un elemento queda fuera en cuanto falla en un solo miembro, \(\bigcap \mathcal{F} \subseteq A\) para todo \(A \in \mathcal{F}\).
Ejemplo guía: sea \(\mathcal{F} = \{\{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \{3,4,5\}\}\). El 3 está en los tres conjuntos, así que \(\bigcap \mathcal{F} = \{3\}\). El 2 y el 4 quedan fuera, porque cada uno falta en alguno de los conjuntos.
Error típico: confundir la intersección de una familia con su unión, que reúne los elementos que pertenecen a algún miembro. Por eso la familia debe ser no vacía: sin un conjunto universo fijado, la intersección de la familia vacía no está determinada.
Para pensar
¿Por qué la familia vacía no tiene intersección determinada sin un universo fijo?
Porque la condición \(\forall A \in \varnothing\) se cumple para cualquier \(x\), así que la intersección sería todo el universo, que no está fijado.
Ejercicios 10
- ¿Qué significa \(x \in \bigcap \mathcal{F}\)?
- Si \(\mathcal{F} = \{A, B\}\), ¿qué conjunto es \(\bigcap \mathcal{F}\)?
- ¿Cuál afirmación es verdadera para toda familia no vacía \(\mathcal{F}\)?
- Dada \(\mathcal{F} = \{\{a,b\},\{b,c\}\}\), ¿cuál es \(\bigcap \mathcal{F}\)?
- Sea \(\mathcal{F} = \{\{1,2,3,4\}, \{2,4,6\}, \{4,5,6\}\}\). ¿Cuál es \(\bigcap \mathcal{F}\)?
- ¿Qué distingue \(x \in \bigcap \mathcal{F}\) de \(x \in \bigcup \mathcal{F}\)?
- Sea \(\mathcal{F} = \{\{1,\ldots,k\} : k \in \{3,5,7\}\}\). ¿Cuál es \(\bigcap \mathcal{F}\)?
- Sea \(\mathcal{F}\) una familia no vacía y \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) una subfamilia no vacía. ¿Qué relación hay entre \(\bigcap \mathcal{F}\) y \(\bigcap \mathcal{G}\)?
- Sea \(A_n = \{x \in \mathbb{N} : x \geq n\}\) para cada \(n \in \mathbb{N}\), con \(\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}\), y \(\mathcal{F} = \{A_n : n \in \mathbb{N}\}\). ¿Cuál es \(\bigcap \mathcal{F}\)?
- ¿Cuál de estas familias tiene intersección vacía, pero cada par de sus miembros tiene intersección no vacía?
Referencias
- Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
- Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.