Relaciones y funciones · Definición

Función biyectiva

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una biyección empareja los elementos de dos conjuntos sin sobrar ni faltar, y por eso es la herramienta para decir que dos conjuntos tienen el mismo tamaño.

Definición

Función \(f\colon A\to B\) que es inyectiva y suprayectiva a la vez, es decir, a cada elemento de \(B\) le corresponde exactamente un elemento de \(A\).

\[\forall b\in B\;\exists!\,a\in A\,(f(a)=b)\]

Sea \(f\colon A\to B\). Decimos que \(f\) es biyectiva si es inyectiva (\(f(a)=f(a')\) implica \(a=a'\)) y suprayectiva (para cada \(b\in B\) existe \(a\in A\) con \(f(a)=b\)). Equivalentemente, \(f\) es biyectiva si y solo si existe \(g\colon B\to A\) con \(g\circ f=\mathrm{id}_A\) y \(f\circ g=\mathrm{id}_B\); esa \(g\) es única y se llama inversa de \(f\).

Ejemplo guía: \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+1\), es biyectiva, porque para cada \(y\in\mathbb{R}\) la ecuación \(2x+1=y\) tiene una única solución, \(x=(y-1)/2\). En cambio \(g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^2\), no lo es: \(g(1)=g(-1)=1\) rompe la inyectividad, y \(-1\) no tiene preimagen real, lo que rompe la suprayectividad.

Error típico: dar por biyectiva una función solo porque \(A\) y \(B\) tienen el mismo número de elementos. Esa igualdad es necesaria para que exista una biyección entre conjuntos finitos, pero no es suficiente: la función concreta debe cumplir las dos propiedades a la vez.

Para pensar

¿Por qué no basta con que \(A\) y \(B\) tengan el mismo número de elementos para que \(f\) sea biyectiva?

Porque la función concreta debe ser inyectiva y suprayectiva a la vez; la igualdad de tamaños solo es necesaria.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué dos propiedades debe cumplir \(f\colon A\to B\) para ser biyectiva?
  2. Si \(f\colon A\to B\) es biyectiva, ¿cuántos elementos de \(A\) tienen imagen igual a un \(b\in B\) dado?
  3. ¿Qué significa que \(f\colon A\to B\) sea inyectiva?
  4. ¿Cuál es la definición de suprayectividad para \(f\colon A\to B\)?
  5. Sea \(f\colon\{1,2,3\}\to\{a,b,c\}\) inyectiva. ¿Qué se puede concluir?
  6. ¿Es biyectiva \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3-x\)?
  7. ¿Cuál de estas funciones de \(\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{Z}\) es biyectiva?
  8. Si \(f\colon A\to B\) es biyectiva y \(|A|=5\), ¿cuánto vale \(|B|\)?
  9. Sea \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^3+x\). ¿Cuál afirmación es correcta?
  10. ¿Cuántas biyecciones hay de un conjunto \(A\) con \(n\) elementos en sí mismo?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.