Operaciones y familias · Definición

Conjunto potencia

teoría de conjuntosoperaciones y familias

Antes de empezar necesitas conocer

El conjunto potencia reúne todas las maneras de elegir elementos de \(A\), incluida la de no elegir ninguno y la de elegirlos todos.

Definición

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto \(A\), simbolizado por \(\mathcal{P}(A)\).

\[\mathcal{P}(A) = \{X : X \subseteq A\}\]

Para un conjunto \(A\), \(\mathcal{P}(A)\) contiene exactamente los conjuntos \(X\) con \(X \subseteq A\). Siempre contiene al conjunto vacío \(\varnothing\) y al propio \(A\). Si \(A\) tiene \(n\) elementos, \(\mathcal{P}(A)\) tiene \(2^n\) elementos, porque cada elemento de \(A\) se incluye o se excluye de cada subconjunto de forma independiente.

Ejemplo guía: sea \(A = \{a, b\}\). Entonces \(\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\), con \(2^2 = 4\) elementos. Observa que \(\{a\} \in \mathcal{P}(A)\), pero \(a \notin \mathcal{P}(A)\): los elementos de la potencia son subconjuntos de \(A\), no elementos de \(A\).

Error típico: confundir \(\varnothing\) con \(\{\varnothing\}\). El primero no tiene elementos; el segundo tiene exactamente uno, que es \(\varnothing\). Por el teorema de Cantor, \(\mathcal{P}(A)\) tiene siempre cardinal estrictamente mayor que el de \(A\), también cuando \(A\) es infinito.

Para pensar

¿Por qué \(\varnothing\) pertenece a \(\mathcal{P}(A)\) para todo \(A\)?

Porque \(\varnothing \subseteq A\) se cumple para cualquier conjunto \(A\).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué es \(\mathcal{P}(A)\)?
  2. ¿Cuántos elementos tiene \(\mathcal{P}(\varnothing)\)?
  3. ¿Cuántos elementos tiene \(\mathcal{P}(\{1,2,3\})\)?
  4. Si \(X \in \mathcal{P}(A)\), ¿qué se cumple?
  5. ¿Es \(\varnothing \in \mathcal{P}(A)\) para cualquier conjunto \(A\)?
  6. Sea \(A=\{1,2,3,4\}\). ¿Cuántos elementos de \(\mathcal{P}(A)\) tienen exactamente dos elementos?
  7. ¿Cuál es \(\mathcal{P}(\{a\}) \cap \{a\}\)?
  8. ¿Qué afirmación es verdadera para todo conjunto \(A\)?
  9. Sea \(A=\{a,b\}\). ¿Cuántos pares \((X,Y)\) con \(X,Y \in \mathcal{P}(A)\) cumplen \(X \subseteq Y\)?
  10. Sea \(|A|=2\). ¿Cuántos subconjuntos tiene \(\mathcal{P}(A)\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.