Conceptos básicos · Definición

Solución de una ecuación diferencial

ecuaciones diferencialessoluciones

Antes de empezar necesitas conocer

Resolver una ecuación diferencial no es despejar una incógnita numérica: es encontrar funciones, y comprobarlas es tan importante como hallarlas.

Definición

Una solución \(\varphi\) de una ecuación diferencial \(F=0\) es una función que, sustituida junto con sus derivadas, vuelve la ecuación una igualdad verdadera en todo un intervalo.

\[F\big(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\big)=0\]

Comprobar una solución es un cálculo mecánico: se deriva la función candidata, se sustituye en la ecuación y se verifica que ambos lados coincidan para todo \(x\) del intervalo. Por ejemplo, \(y=e^{3x}\) resuelve \(y'=3y\) porque \(y'=3e^{3x}\) es exactamente \(3y\). Basta una sustitución; no hace falta saber cómo se encontró la función.

Casi nunca hay una sola solución. Como resolver una ecuación de primer orden equivale en esencia a integrar una vez, aparece una constante arbitraria: \(y=x^2+C\) resuelve \(y'=2x\) para cada \(C\). A la familia completa se le llama solución general, y a cada miembro, que resulta de fijar las constantes, solución particular. En una ecuación de orden \(n\) la familia suele llevar \(n\) constantes.

La palabra intervalo importa. Una solución se exige sobre un intervalo donde la función y sus derivadas existan: \(y=1/(1-x)\) cumple \(y'=y^2\) pero no está definida en \(x=1\), así que es solución en \((-\infty,1)\) o en \((1,\infty)\), nunca en todo \(\mathbb{R}\). Aun con coeficientes perfectamente regulares, una solución puede dejar de existir a distancia finita.

También hay ecuaciones sin soluciones reales, como \((y')^2+1=0\), y ecuaciones con soluciones que no caben en ninguna familia. Un error común es creer que toda ecuación diferencial tiene una fórmula explícita; en la práctica muchas solo se pueden aproximar. Para elegir una solución concreta de la familia se necesitan condiciones adicionales, que es el tema del siguiente concepto.

Para pensar

¿Es \(y=0\) solución de \(y'=y^2\)? ¿Y es parte de la familia \(y=1/(C-x)\)?

Sí es solución: \(0=0\). No pertenece a esa familia para ningún \(C\); es una solución que queda fuera de ella.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas funciones es solución de \(y'=3y\)?
  2. ¿Cuál es solución de \(y''+y=0\)?
  3. La función \(y=x^3\) es solución de \(xy'=ky\). ¿Cuánto vale \(k\)?
  4. ¿Qué se puede decir de \(y=x^2+C\) respecto de \(y'=2x\)?
  5. ¿Para qué valor de \(k\) la función \(y=e^{kx}\) es solución de \(y''-5y'+6y=0\)?
  6. ¿Para qué valor de \(k\) la función \(y=\sin(kx)\) es solución de \(y''+9y=0\)?
  7. ¿Para qué valor de \(a\) la función \(y=ax^2\) es solución de \(y'=x\)?
  8. ¿Cuál ecuación satisface \(y=x\ln x\) (con \(x>0\))?
  9. La función \(y=\frac{1}{1-x}\) cumple \(y'=y^2\). ¿En cuál intervalo es solución?
  10. ¿Cuántas soluciones reales tiene \((y')^2+1=0\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §1.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §1.1