Sistemas y matrices · Definición

Matriz

álgebra linealmatrices

Una matriz es una tabla rectangular de números que guarda los coeficientes de un sistema y, más adelante, representa transformaciones.

Definición

Una matriz \(A\) es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas; con \(m\) filas y \(n\) columnas, es de tamaño \(m\times n\).

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}\]

Al escribir un sistema lineal con muchas ecuaciones, las incógnitas y los signos se repiten sin parar; lo único que cambia de un sistema a otro son los números. Por eso los matemáticos del siglo XIX decidieron guardar solo esos números en una tabla rectangular y operar con la tabla completa. Esa tabla es la matriz, y con el tiempo dejó de ser una simple abreviatura para convertirse en un objeto con su propia aritmética.

La notación \(a_{ij}\) es una dirección: primero la fila, después la columna. Se lee de manera parecida a una hoja de cálculo, y conviene memorizar el orden porque una matriz \(m\times n\) tiene \(m\) filas y \(n\) columnas, y confundirlas es una fuente frecuente de errores al multiplicar. Dos matrices solo son iguales si coinciden en tamaño y en cada entrada; una matriz \(2\times3\) nunca es igual a una \(3\times2\), aunque usen los mismos números.

Ejemplo guía: el sistema \(x+2y=5,\ 3x-y=1\) se resume en la matriz de coeficientes \(\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}\). Sumar matrices entrada por entrada es natural, pero el producto, que veremos más adelante, es más sutil. Piensa en una matriz como una máquina que transforma vectores: esa visión justifica casi todo lo que sigue. Dos matrices solo se pueden sumar si tienen el mismo tamaño, y son iguales cuando coinciden todas sus entradas.

Para pensar

¿Se pueden sumar una matriz \(2\times3\) y una \(3\times2\)?

No: la suma exige el mismo tamaño, porque se suma entrada por entrada y las posiciones no se corresponden.

Ejercicios 10

  1. ¿De qué tamaño es la matriz \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)?
  2. En \(B=\begin{pmatrix}7&0&-2\\5&9&1\end{pmatrix}\), ¿cuánto vale la entrada \(b_{23}\) (fila 2, columna 3)?
  3. Calcula \(A+B\) si \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&5\end{pmatrix}\).
  4. Calcula \(3A\) si \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&4\end{pmatrix}\).
  5. ¿Cuál de las siguientes matrices es cuadrada?
  6. ¿Cuál es la matriz identidad de orden 2?
  7. Calcula \(A-2B\) si \(A=\begin{pmatrix}3&1\\0&-2\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}\).
  8. Si \(\begin{pmatrix}a&2\\3&b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\3&7\end{pmatrix}\), ¿cuánto valen \(a\) y \(b\)?
  9. ¿Cuántas matrices \(2\times 2\) distintas se pueden formar si cada entrada es 0 o 1?
  10. Si \(A\) es de tamaño \(2\times 3\) y \(B\) es de tamaño \(3\times 2\), ¿qué afirmación es correcta?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §1.3
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.C