Un alumno afirma que f(n)=∑_d| ng(d) invierte g(n)=∑_d| nf(d). Con g(n)=n, ¿qué ocurre para n=6?

Falsa: la suma directa da 12, no el valor 2 de la inversión

Falsa: la suma directa da 6, porque solo cuenta n

Cierta: para n=6 ambos valores coinciden con φ(6)

Es cierta: sumar g sobre los divisores siempre invierte la relación

Ejercicio · ZW-FORMULA-DE-INVERSION-DE-MOBIUS-010 · ★★★ Avanzado

Un alumno afirma que \(f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\) invierte \(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\). Con \(g(n)=n\), ¿qué ocurre para \(n=6\)?

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Sumar \(g(d)\) sobre \(d\mid 6\) da \(1+2+3+6=12\), mientras que \(\varphi(6)=2\). Así la afirmación es falsa.

Fórmula que recupera una función aritmética \(f\) a partir de su suma sobre los divisores, empleando la función de Möbius \(\mu\).

\[f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\,g\!\left(\frac{n}{d}\right)\]