Ortogonalidad · Definición

Producto punto

álgebra linealortogonalidad

Antes de empezar necesitas conocer

Es la operación que convierte dos vectores en un número y, con ella, la geometría del plano (longitudes, ángulos, perpendicularidad) pasa a cualquier \(\mathbb{R}^n\).

Definición

El producto punto de dos vectores de \(\mathbb{R}^n\) es el número que resulta de multiplicar sus coordenadas de una en una y sumar los resultados.

\[u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+\dots+u_nv_n\]

El producto punto es simétrico, \(u\cdot v=v\cdot u\), y lineal en cada entrada: \((cu+w)\cdot v=c\,(u\cdot v)+w\cdot v\). Además \(u\cdot u=u_1^2+\dots+u_n^2\) nunca es negativo y solo vale cero cuando \(u=0\). Con estas reglas se manipula como un producto ordinario, salvo que su resultado es un escalar y no un vector.

Un ejemplo guía: \((1,2,3)\cdot(4,-5,6)=4-10+18=12\). En el plano, además, \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\), donde \(\theta\) es el ángulo entre ambos vectores; así el signo del producto dice si forman un ángulo agudo (positivo), recto (cero) u obtuso (negativo). Esa lectura geométrica se extiende a \(\mathbb{R}^n\) y fundamenta los dos conceptos siguientes.

Si se escribe cada vector como columna, el producto punto es el producto matricial \(u^{T}v\). Cada entrada de un producto de matrices es, de hecho, el producto punto de una fila con una columna. Un error frecuente es creer que \(u\cdot v=0\) obliga a que alguno sea cero: basta que sean perpendiculares, como \((1,0)\) y \((0,1)\). Tampoco se puede «cancelar» un factor: \(u\cdot v=u\cdot w\) solo dice que \(v-w\) es perpendicular a \(u\).

Para pensar

¿Por qué \(u\cdot u=0\) implica \(u=0\)?

Porque \(u\cdot u\) es una suma de cuadrados de números reales; cada sumando es no negativo y la suma solo es cero si todos lo son, es decir, si todas las coordenadas son cero.

¿Qué signo tiene \(u\cdot v\) si el ángulo entre los vectores es de 120°?

Negativo, porque \(\cos 120^\circ=-\tfrac12<0\) y las longitudes son positivas.

Ejercicios 10

  1. Calcula \((1,2,3)\cdot(4,-5,6)\).
  2. Calcula \((2,-1,0,3)\cdot(1,4,5,-2)\).
  3. El producto punto de dos vectores de \(\mathbb{R}^n\) es:
  4. Calcula \((7,-2,5)\cdot(1,0,0)\).
  5. Calcula \((3,-4,12)\cdot(3,-4,12)\).
  6. ¿Para qué valor de \(k\) se cumple \((k,2,-1)\cdot(3,k,4)=0\)?
  7. Si \(u\cdot v=5\) y \(u\cdot w=-2\), ¿cuánto vale \(u\cdot(2v-3w)\)?
  8. ¿Cuál de estas afirmaciones es falsa?
  9. Si \(u\cdot v=u\cdot w\) y \(u\neq 0\), ¿qué se puede concluir?
  10. Si \(u\cdot u=9\) y \(v\cdot v=4\), ¿cuánto vale \((u+v)\cdot(u-v)\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §1.2
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §6.A