Fundamentos de probabilidad · Definición
Espacio muestral
Antes de asignar probabilidades hay que saber qué puede pasar: el espacio muestral es el punto de partida de toda la teoría.
Definición
Un espacio muestral \(\Omega\) es el conjunto de todos los resultados posibles \(\omega\) de un experimento aleatorio.
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque se sepa de antemano qué resultados son posibles. Al conjunto de todos ellos lo llamamos \(\Omega\), y a cada elemento \(\omega\in\Omega\) un resultado. Los resultados deben ser exhaustivos (no falta ninguno) y mutuamente excluyentes (al realizar el experimento ocurre exactamente uno).
El espacio muestral depende de qué decidamos registrar. Al lanzar dos monedas, si anotamos la secuencia obtenemos \(\Omega=\{CC,CS,SC,SS\}\), con 4 elementos; si solo anotamos el número de caras, \(\Omega=\{0,1,2\}\). Ambas descripciones son válidas, pero conviene elegir la que permita responder lo que nos interesa sin perder información.
Según su tamaño, un espacio muestral puede ser finito (un dado), infinito numerable (el número de lanzamientos hasta obtener la primera cara: \(1,2,3,\dots\)) o infinito no numerable (un tiempo de espera, \([0,\infty)\)). Cuando se combinan experimentos, el conteo se multiplica: dos dados dan \(6\cdot 6=36\) pares ordenados.
Un error común es confundir el espacio muestral con un evento: \(\Omega\) contiene todos los resultados posibles, mientras que un evento, como «sale par», es solo una parte de él. En el siguiente concepto formalizamos esa idea.
Para pensar
Se lanzan dos dados y solo interesa si la suma es par. ¿Basta con \(\Omega=\{\text{par},\text{impar}\}\)?
Puede bastar para esa pregunta, pero oculta información y no permite calcular otras probabilidades; los 36 pares ordenados son una descripción más fina y más útil.
Ejercicios 10
- Se lanzan dos monedas distinguibles y se anota el resultado de cada una. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
- Se lanza un dado de seis caras y se anota el número que sale. ¿Cuál es el espacio muestral?
- Se lanzan dos dados distinguibles y se anota el par de números. ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral?
- Se lanza una moneda tres veces y se anota la secuencia. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
- Se lanzan dos dados y se anota solo la suma. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
- Se lanza una moneda hasta que sale cara y se anota el número de lanzamientos. ¿Cómo es el espacio muestral?
- Se mide el tiempo, en minutos, que tarda en llegar un autobús. ¿Qué espacio muestral es adecuado?
- Se lanzan un dado y una moneda y se anota el par (número, lado). ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
- De una urna con tres bolas distintas (R, A, V) se extrae una, se anota su color y se devuelve; luego se extrae otra y se anota. ¿Cuántos resultados ordenados tiene el espacio muestral?
- ¿Cuál afirmación sobre el espacio muestral es correcta?
Después de esto
Referencias
- Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §1.2
- Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §2.2
- Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §2.1