Ley de los grandes números

Sean \(X_1,X_2,\dots\) independientes, con la misma esperanza \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2\). La ley (en su forma débil) dice que, para todo \(\varepsilon>0\), \(P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\to0\) cuando \(n\to\infty\). La forma fuerte afirma algo más: con probabilidad 1, la sucesión de promedios converge a \(\mu\).

Con varianza finita la demostración es una aplicación directa de Chebyshev: como \(E[\bar X_n]=\mu\) y \(\operatorname{Var}(\bar X_n)=\sigma^2/n\), se tiene \(P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2)\), que tiende a 0. Además da una cota explícita: para garantizar un error menor que \(\varepsilon\) con probabilidad de falla \(\delta\), basta \(n\ge\sigma^2/(\delta\varepsilon^2)\).

Un ejemplo guía es la frecuencia relativa de un evento: si \(X_i=1\) cuando ocurre el evento en la repetición \(i\), entonces \(\bar X_n\) es la proporción de veces que ocurre y tiende a su probabilidad. Así se justifica interpretar una probabilidad como frecuencia a largo plazo, y también los métodos de simulación y estimación.

Dos errores típicos: creer que la ley «compensa» rachas pasadas (los ensayos son independientes) y pensar que la diferencia absoluta \(S_n-n\mu\) se anula, cuando lo que se estabiliza es el promedio. La rapidez y la forma de la fluctuación restante las describe el teorema central del límite.