Variables aleatorias · Definición
Esperanza
Antes de empezar necesitas conocer
Resume en un solo número el centro de una variable aleatoria, el valor alrededor del cual se acomodan sus resultados a la larga.
Definición
La esperanza \(E[X]\) de una variable aleatoria \(X\) es el promedio de sus valores posibles, cada uno ponderado por su probabilidad.
La idea viene del promedio con pesos: cada valor cuenta tanto como probable sea. Para una variable discreta se suma \(\sum_x x\,p(x)\); para una continua la suma se vuelve integral, \(\int x f(x)\,dx\). Con un dado justo, \(E[X]=\tfrac16(1+\cdots+6)=3.5\), un valor que el dado nunca muestra: la esperanza no tiene que ser un resultado posible.
Su interpretación empírica es la ley de los grandes números: si repites el experimento muchas veces, el promedio de los resultados se acerca a \(E[X]\). Por eso es el precio justo de un juego: si ganas 10 con probabilidad 0.2 y pierdes 2 con probabilidad 0.8, la ganancia esperada es \(10(0.2)-2(0.8)=0.4\).
Dos propiedades la hacen muy útil. Es lineal: \(E[aX+b]=aE[X]+b\) y \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\), incluso si \(X\) y \(Y\) dependen una de otra. Y para una función de \(X\) no hace falta hallar su distribución: \(E[g(X)]=\sum g(x)p(x)\) o \(\int g(x)f(x)\,dx\). Cuidado: en general \(E[X^2]\neq(E[X])^2\).
La esperanza existe solo si la suma o la integral convergen absolutamente. La densidad de Cauchy, \(\tfrac{1}{\pi(1+x^2)}\), es simétrica y aun así no tiene esperanza. Lo que sigue, la varianza, mide cuánto se alejan los valores de este centro.
Para pensar
Un juego paga 3 pesos con probabilidad \(\tfrac13\) y nada en otro caso. ¿Cuánto es justo pagar por jugar?
La ganancia esperada es \(3\cdot\tfrac13=1\) peso; ese es el precio justo.
¿Por qué \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\) no pide independencia?
Porque la suma de esperanzas solo usa la linealidad de la suma y la integral, no cómo se relacionan \(X\) e \(Y\).
Ejercicios 10
- \(X\) toma los valores 0, 1 y 2 con probabilidades 0.2, 0.5 y 0.3. Calcula \(E[X]\).
- Se lanza un dado justo y \(X\) es el número que sale. ¿Cuánto vale \(E[X]\)?
- \(X\) tiene densidad \(f(x)=2x\) en \([0,1]\) y 0 fuera. Calcula \(E[X]\).
- En un juego ganas 10 pesos con probabilidad 0.2 y pierdes 2 con probabilidad 0.8. ¿Cuál es la ganancia esperada, en pesos?
- Si \(E[X]=3\), ¿cuánto vale \(E[2X+5]\)?
- Con \(f(x)=2x\) en \([0,1]\), calcula \(E[X^2]\).
- ¿Cuál afirmación sobre \(E[X]\) es correcta?
- \(X\) vale \(-1\), 0 o 1 con probabilidades \(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14\). Calcula \(E[X^2]\).
- Se lanzan dos dados justos y \(S\) es la suma. Usando linealidad, ¿cuánto vale \(E[S]\)?
- \(X\) tiene densidad \(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\) en todo \(\mathbb{R}\). ¿Qué pasa con \(E[X]\)?
Referencias
- Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §4.1
- Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §4.3
- Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9.ª edición, Pearson, 2012. §4.1