Probabilidad condicional · Definición

Probabilidad condicional

probabilidadcondicional

Antes de empezar necesitas conocer

Casi toda probabilidad útil se calcula con información parcial; este concepto dice cómo actualizarla cuando llega un dato nuevo.

Definición

La probabilidad condicional de \(A\) dado \(B\), \(P(A\mid B)\), es la probabilidad de que ocurra \(A\) cuando ya se sabe que ocurrió \(B\); se calcula dentro del espacio reducido a \(B\).

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0\]

Si sabemos que \(B\) ocurrió, los únicos resultados posibles son los de \(B\), y la probabilidad de \(A\) debe medirse solo dentro de ellos. Eso explica la fórmula: del total \(P(B)\) nos quedamos con la parte donde también ocurre \(A\), es decir \(P(A\cap B)\). Por eso se exige \(P(B)>0\); condicionar a un evento imposible no tiene sentido.

Con un dado, sea \(B=\) «sale par» y \(A=\) «sale 6». Aquí \(P(A\cap B)=1/6\) y \(P(B)=1/2\), de modo que \(P(A\mid B)=1/3\): al descartar los impares, el 6 pasa de uno entre seis a uno entre tres. La información puede aumentar, disminuir o dejar igual la probabilidad.

Despejando la definición se obtiene la regla del producto \(P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)\), que permite calcular la probabilidad de secuencias: dos reyes seguidos sin reposición tienen probabilidad \(\tfrac{4}{52}\cdot\tfrac{3}{51}\). Además, para \(B\) fijo, \(P(\cdot\mid B)\) es una medida de probabilidad: cumple los mismos axiomas, por ejemplo \(P(A\mid B)+P(A^c\mid B)=1\).

El error más frecuente es confundir \(P(A\mid B)\) con \(P(B\mid A)\); en general son distintas, pues tienen denominadores diferentes. Este concepto prepara la independencia (cuando condicionar no cambia nada) y la probabilidad total, que combina condicionales sobre casos distintos.

Para pensar

Si \(P(A\mid B)=P(B\mid A)\) y ambas son positivas, ¿qué relación hay entre \(P(A)\) y \(P(B)\)?

Igualando las fórmulas, \(P(A\cap B)/P(B)=P(A\cap B)/P(A)\), y como \(P(A\cap B)>0\), resulta \(P(A)=P(B)\).

¿Por qué en el ejemplo de los dos hijos la respuesta es 1/3 y no 1/2?

Porque «al menos una niña» deja tres casos equiprobables (NN, NO, ON), no dos; el orden de nacimiento distingue los dos casos mixtos.

Ejercicios 10

  1. Si \(P(A\cap B)=0.2\) y \(P(B)=0.5\), ¿cuánto vale \(P(A\mid B)\)?
  2. Se lanza un dado justo y se sabe que salió par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea 6?
  3. Se lanzan dos dados justos y el primero salió 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 8?
  4. Si \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.4\) y \(P(A\cup B)=0.7\), ¿cuánto vale \(P(A\mid B)\)?
  5. Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extraen dos sin reemplazo. Dado que la primera fue roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea roja?
  6. Se extraen dos cartas de una baraja de 52 sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?
  7. Una familia tiene dos hijos y se sabe que al menos uno es niña. Suponiendo que cada hijo es niño o niña con igual probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean niñas?
  8. Si \(P(A)=0.4\) y \(P(B\mid A)=0.5\), ¿cuánto vale \(P(A\cap B)\)?
  9. Con \(P(B)>0\), ¿cuál afirmación es verdadera?
  10. Si \(B\subseteq A\) y \(P(B)>0\), ¿cuánto vale \(P(A\mid B)\)?

Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §2.2
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §3.2
  • Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §1.4