Distribuciones · Definición

Distribución de Bernoulli

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Antes de empezar necesitas conocer

Es el modelo más simple de un experimento con dos desenlaces y la pieza con la que se construyen otras distribuciones.

Definición

Una variable de Bernoulli \(X\) solo toma los valores 1 (éxito) y 0 (fracaso); su único parámetro \(p\) es la probabilidad \(P\) de éxito.

\[P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p\]

Un ensayo de Bernoulli es cualquier experimento con dos resultados que se llaman éxito y fracaso: un tiro libre que entra o no, una pieza defectuosa o buena, un 6 en un dado. La variable codifica el éxito como 1 y el fracaso como 0; su función de masa se reduce al par \(P(X=1)=p\), \(P(X=0)=1-p\).

Su esperanza y su varianza se calculan directo: \(E[X]=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p\) y, como \(X^2=X\), \(E[X^2]=p\), de donde \(\operatorname{Var}(X)=p-p^2=p(1-p)\). Un error típico es escribir \(p^2\) como varianza.

La varianza \(p(1-p)\) es máxima, igual a \(\tfrac14\), cuando \(p=\tfrac12\) (máxima incertidumbre) y vale 0 cuando \(p=0\) o \(p=1\), pues el resultado ya es seguro. Con un dado y éxito = «sale 6», \(p=\tfrac16\) y \(\operatorname{Var}(X)=\tfrac5{36}\).

Toda variable indicadora de un evento \(A\) (vale 1 si ocurre \(A\) y 0 si no) es de Bernoulli con \(p=P(A)\), de modo que \(E[X]=P(A)\): probabilidades y esperanzas quedan unidas. Repetir ensayos independientes y contar los éxitos conduce a la distribución binomial.

Para pensar

¿Por qué \(X^2=X\) para una variable de Bernoulli y qué consecuencia tiene?

Porque solo toma los valores 0 y 1, que cumplen \(x^2=x\). Por eso \(E[X^2]=E[X]=p\) y la varianza es \(p-p^2\).

Si el evento \(A\) tiene probabilidad 0.25, ¿qué esperanza tiene su indicadora?

0.25, porque la indicadora es Bernoulli con \(p=P(A)\) y \(E[X]=p\).

Ejercicios 10

  1. Una variable de Bernoulli tiene \(p=0.3\). Calcula \(E[X]\).
  2. Una variable de Bernoulli tiene \(p=0.3\). Calcula \(\operatorname{Var}(X)\).
  3. ¿Cuál de estas variables es de Bernoulli?
  4. Se lanza un dado justo y \(X=1\) si sale 6, \(X=0\) en otro caso. Calcula \(\operatorname{Var}(X)\).
  5. Se lanza un dado justo y \(X=1\) si sale múltiplo de 3, \(X=0\) en otro caso. Calcula \(E[X]\).
  6. Si \(X\) es de Bernoulli con \(p=0.4\), calcula \(E[X^2]\).
  7. Si \(X\) es de Bernoulli y \(E[X]=0.6\), calcula \(\operatorname{Var}(X)\).
  8. ¿Para qué valor de \(p\) es máxima la varianza de una variable de Bernoulli?
  9. Una variable de Bernoulli tiene \(\operatorname{Var}(X)=0.16\) y \(p<\tfrac12\). ¿Cuánto vale \(p\)?
  10. Si \(X\) es de Bernoulli, ¿cuál afirmación es cierta?

Después de esto

Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §3.3
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §4.6
  • Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9.ª edición, Pearson, 2012. §5.2