Variables aleatorias · Definición

Covarianza

probabilidadvariables aleatorias

Antes de empezar necesitas conocer

La varianza describe una sola variable; la covarianza describe cómo se mueven dos a la vez.

Definición

La covarianza \(\operatorname{Cov}(X,Y)\) de dos variables \(X\) y \(Y\) mide si tienden a desviarse de sus esperanzas \(E\) en el mismo sentido o en sentidos opuestos: es la esperanza del producto de sus desviaciones.

\[\operatorname{Cov}(X,Y)=E\big[(X-E[X])(Y-E[Y])\big]\]

Para cada resultado se toma la desviación de \(X\) respecto a su media y la de \(Y\) respecto a la suya, y se multiplican. Si ambas suelen tener el mismo signo, el producto es casi siempre positivo y la covarianza es positiva; si suelen tener signos opuestos, es negativa; si no hay tendencia, queda cerca de 0.

Para calcularla se usa la forma equivalente \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\). Con \(E[X]=2\), \(E[Y]=3\) y \(E[XY]=7\) resulta 1. Un error típico es olvidar restar el producto de las medias y dar \(E[XY]\) como covarianza.

Es simétrica, cumple \(\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)\) y es lineal en cada argumento, de modo que \(\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)\). Además, \(\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)\): el término cruzado separa la varianza de una suma de la suma de varianzas.

Si \(X\) e \(Y\) son independientes, la covarianza es 0, pero el recíproco es falso: con \(X\) uniforme en \(\{-1,0,1\}\) y \(Y=X^2\) la covarianza es 0 y aun así \(Y\) depende de \(X\). La covarianza solo detecta dependencia lineal; su tamaño está acotado por \(\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}\) y sus unidades son el producto de las de \(X\) y \(Y\), por lo que suele normalizarse para obtener la correlación.

Para pensar

¿Por qué independencia implica covarianza 0 pero no al revés?

Independencia da \(E[XY]=E[X]E[Y]\), así que la covarianza se anula. En cambio, covarianza 0 solo descarta relación lineal: \(Y=X^2\) con \(X\) simétrica es dependiente y tiene covarianza 0.

¿Qué le pasa a la covarianza si \(X\) se mide en centímetros en lugar de metros?

Se multiplica por 100, pues \(\operatorname{Cov}(100X,Y)=100\operatorname{Cov}(X,Y)\); por eso su magnitud no se compara directamente entre escalas.

Ejercicios 10

  1. \(E[X]=2,\ E[Y]=3\) y \(E[XY]=7\). Calcula \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
  2. Si \(\operatorname{Var}(X)=4\), ¿cuánto vale \(\operatorname{Cov}(X,X)\)?
  3. Sean \(X\) uniforme en \(\{0,1,2\}\) y \(Y=2X\). Calcula \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
  4. Si \(X\) e \(Y\) son independientes con \(E[X]=2\) y \(E[Y]=5\), ¿cuánto vale \(\operatorname{Cov}(X,Y)\)?
  5. Si \(\operatorname{Cov}(X,Y)=3\), calcula \(\operatorname{Cov}(2X+1,\,-3Y+5)\).
  6. Con la tabla conjunta \(P(0,0)=0.4,\ P(0,1)=0.1,\ P(1,0)=0.1,\ P(1,1)=0.4\), calcula \(\operatorname{Cov}(X,Y)\).
  7. Si \(\operatorname{Var}(X)=4\), \(\operatorname{Var}(Y)=9\) y \(\operatorname{Cov}(X,Y)=-2\), calcula \(\operatorname{Var}(X+Y)\).
  8. Si \(\operatorname{Cov}(X,Y)<0\), ¿qué se puede afirmar?
  9. Sean \(X\) uniforme en \(\{-1,0,1\}\) y \(Y=X^2\). ¿Cuál afirmación es correcta?
  10. Si \(\operatorname{Var}(X)=1\) y \(\operatorname{Var}(Y)=4\), ¿cuál valor es imposible para \(\operatorname{Cov}(X,Y)\)?

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Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §7.3
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §7.4
  • Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9.ª edición, Pearson, 2012. §4.3