Media muestral

Una vez recogidas las observaciones \(x_1,\dots,x_n\), su promedio \(\bar x\) es un número. Pero antes de observar, \(\bar X\) depende del azar: otra muestra daría otro promedio. Por eso tiene su propia distribución, llamada distribución muestral de la media, y es la que permite decir cuánto confiar en un promedio concreto.

Por linealidad de la esperanza, \(E[\bar X]=\mu\): en promedio, la media muestral acierta con la media poblacional. Por independencia, \(\operatorname{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\), de modo que la desviación estándar \(\sigma/\sqrt n\), llamada error estándar, baja con la raíz del tamaño: para reducirla a la mitad se necesitan cuatro veces más datos.

Una propiedad útil es que las desviaciones \(x_i-\bar x\) siempre suman cero, de modo que \(\bar x\) es el punto de equilibrio de los datos. También es sensible a valores extremos: un solo dato muy grande puede arrastrarlo. Con muestras de distinto tamaño, la media combinada se calcula ponderando por el número de datos.

El error típico es confundir \(\bar X\) con \(\mu\): la primera se calcula con datos, la segunda es un parámetro desconocido. La ley de los grandes números dice que \(\bar X\) se acerca a \(\mu\) cuando \(n\) crece, y el teorema central del límite describe su forma. Todo estimador se evalúa con estas ideas.